Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107800 / 41753
↖ ↑ ↗
← N 54.532239°
E116.081543°		 ← 177.18 m → N 54.532239°
E116.084289°		 →
↑
177.24 m
↓
↑
177.24 m
↓
N 54.530645°
E116.081543°		 ← 177.19 m →
31 405 m²		 N 54.530645°
E116.084289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822452545166016 y=0.318553924560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822452545166016 × 217)
    floor (0.822452545166016 × 131072)
    floor (107800.5)     		tx = 107800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318553924560547 × 217)
    floor (0.318553924560547 × 131072)
    floor (41753.5)     		ty = 41753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107800 / 41753 ti = "17/107800/41753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107800/41753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107800 ÷ 217
    107800 ÷ 131072     		x = 0.82244873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41753 ÷ 217
    41753 ÷ 131072     		y = 0.318550109863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82244873046875 × 2 - 1) × π
    0.6448974609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02600513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318550109863281 × 2 - 1) × π
    0.362899780273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.1400832836638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02600513} λ = 2.02600513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1400832836638))-π/2
    2×atan(3.12702878475565)-π/2
    2×1.26128172158892-π/2
    2.52256344317783-1.57079632675     		φ = 0.95176712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02600513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.081543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95176712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.532239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107800 KachelY 41753 2.02600513 0.95176712 116.081543 54.532239
    Oben rechts KachelX + 1 107801 KachelY 41753 2.02605306 0.95176712 116.084289 54.532239
    Unten links KachelX 107800 KachelY + 1 41754 2.02600513 0.95173930 116.081543 54.530645
    Unten rechts KachelX + 1 107801 KachelY + 1 41754 2.02605306 0.95173930 116.084289 54.530645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95176712-0.95173930) × R
    2.78200000000117e-05 × 6371000     		dl = 177.241220000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95176712-0.95173930) × R
    2.78200000000117e-05 × 6371000     		dr = 177.241220000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02600513-2.02605306) × cos(0.95176712) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.580244779190696 × 6371000     		do = 177.184723670681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02600513-2.02605306) × cos(0.95173930) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.580267436746432 × 6371000     		du = 177.191642427896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95176712)-sin(0.95173930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580244779190696-0.580267436746432)×R²
    abs(2.02605306-2.02600513)×2.26575557366049e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26575557366049e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26575557366049e-05×40589641000000     		ar = 31405.0497353757m²