Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1078 / 494
↖ ↑ ↗
← N 82.776432°
W132.626953°		 ← 614.43 m → N 82.776432°
W132.583008°		 →
↑
614.67 m
↓
↑
614.67 m
↓
N 82.770905°
W132.626953°		 ← 614.90 m →
377 820 m²		 N 82.770905°
W132.583008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.13165283203125 y=0.06036376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.13165283203125 × 213)
    floor (0.13165283203125 × 8192)
    floor (1078.5)     		tx = 1078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06036376953125 × 213)
    floor (0.06036376953125 × 8192)
    floor (494.5)     		ty = 494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1078 / 494 ti = "13/1078/494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1078/494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1078 ÷ 213
    1078 ÷ 8192     		x = 0.131591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 494 ÷ 213
    494 ÷ 8192     		y = 0.060302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131591796875 × 2 - 1) × π
    -0.73681640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.31477701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.060302734375 × 2 - 1) × π
    0.87939453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.76269939890308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31477701} λ = -2.31477701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.76269939890308))-π/2
    2×atan(15.8425506436033)-π/2
    2×1.50775880870805-π/2
    3.01551761741611-1.57079632675     		φ = 1.44472129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31477701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.626953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44472129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.776432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1078 KachelY 494 -2.31477701 1.44472129 -132.626953 82.776432
    Oben rechts KachelX + 1 1079 KachelY 494 -2.31401002 1.44472129 -132.583008 82.776432
    Unten links KachelX 1078 KachelY + 1 495 -2.31477701 1.44462481 -132.626953 82.770905
    Unten rechts KachelX + 1 1079 KachelY + 1 495 -2.31401002 1.44462481 -132.583008 82.770905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44472129-1.44462481) × R
    9.64799999998434e-05 × 6371000     		dl = 614.674079999002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44472129-1.44462481) × R
    9.64799999998434e-05 × 6371000     		dr = 614.674079999002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31477701--2.31401002) × cos(1.44472129) × R
    0.000766989999999801 × 0.125741310136311 × 6371000     		do = 614.434068256732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31477701--2.31401002) × cos(1.44462481) × R
    0.000766989999999801 × 0.125837023795351 × 6371000     		du = 614.901772409393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44472129)-sin(1.44462481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125741310136311-0.125837023795351)×R²
    abs(-2.31401002--2.31477701)×9.57136590401253e-05×R²
    0.000766989999999801×9.57136590401253e-05×6371000²
    0.000766989999999801×9.57136590401253e-05×40589641000000     		ar = 377820.438730817m²