Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107799 / 41751
↖ ↑ ↗
← N 54.535426°
E116.078796°		 ← 177.21 m → N 54.535426°
E116.081543°		 →
↑
177.18 m
↓
↑
177.18 m
↓
N 54.533832°
E116.078796°		 ← 177.21 m →
31 398 m²		 N 54.533832°
E116.081543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822444915771484 y=0.318538665771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822444915771484 × 217)
    floor (0.822444915771484 × 131072)
    floor (107799.5)     		tx = 107799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318538665771484 × 217)
    floor (0.318538665771484 × 131072)
    floor (41751.5)     		ty = 41751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107799 / 41751 ti = "17/107799/41751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107799/41751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107799 ÷ 217
    107799 ÷ 131072     		x = 0.822441101074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41751 ÷ 217
    41751 ÷ 131072     		y = 0.318534851074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822441101074219 × 2 - 1) × π
    0.644882202148438 × 3.1415926535     		Λ = 2.02595719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318534851074219 × 2 - 1) × π
    0.362930297851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.14017915746304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02595719} λ = 2.02595719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14017915746304))-π/2
    2×atan(3.12732859925752)-π/2
    2×1.26130953563885-π/2
    2.5226190712777-1.57079632675     		φ = 0.95182274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02595719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.078796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95182274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.535426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107799 KachelY 41751 2.02595719 0.95182274 116.078796 54.535426
    Oben rechts KachelX + 1 107800 KachelY 41751 2.02600513 0.95182274 116.081543 54.535426
    Unten links KachelX 107799 KachelY + 1 41752 2.02595719 0.95179493 116.078796 54.533832
    Unten rechts KachelX + 1 107800 KachelY + 1 41752 2.02600513 0.95179493 116.081543 54.533832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95182274-0.95179493) × R
    2.78099999999615e-05 × 6371000     		dl = 177.177509999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95182274-0.95179493) × R
    2.78099999999615e-05 × 6371000     		dr = 177.177509999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02595719-2.02600513) × cos(0.95182274) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.580199479021483 × 6371000     		do = 177.207855227635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02595719-2.02600513) × cos(0.95179493) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58022212933046 × 6371000     		du = 177.214773215015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95182274)-sin(0.95179493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580199479021483-0.58022212933046)×R²
    abs(2.02600513-2.02595719)×2.26503089771901e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26503089771901e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26503089771901e-05×40589641000000     		ar = 31397.8593995715m²