Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107794 / 46351
↖ ↑ ↗
← N 46.530524°
E116.065063°		 ← 210.12 m → N 46.530524°
E116.067810°		 →
↑
210.12 m
↓
↑
210.12 m
↓
N 46.528635°
E116.065063°		 ← 210.13 m →
44 151 m²		 N 46.528635°
E116.067810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822406768798828 y=0.353633880615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822406768798828 × 217)
    floor (0.822406768798828 × 131072)
    floor (107794.5)     		tx = 107794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353633880615234 × 217)
    floor (0.353633880615234 × 131072)
    floor (46351.5)     		ty = 46351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107794 / 46351 ti = "17/107794/46351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107794/46351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107794 ÷ 217
    107794 ÷ 131072     		x = 0.822402954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46351 ÷ 217
    46351 ÷ 131072     		y = 0.353630065917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822402954101562 × 2 - 1) × π
    0.644805908203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02571750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353630065917969 × 2 - 1) × π
    0.292739868164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.919669419210777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02571750} λ = 2.02571750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.919669419210777))-π/2
    2×atan(2.50846100383591)-π/2
    2×1.19145358914765-π/2
    2.38290717829529-1.57079632675     		φ = 0.81211085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02571750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.065063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81211085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.530524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107794 KachelY 46351 2.02571750 0.81211085 116.065063 46.530524
    Oben rechts KachelX + 1 107795 KachelY 46351 2.02576544 0.81211085 116.067810 46.530524
    Unten links KachelX 107794 KachelY + 1 46352 2.02571750 0.81207787 116.065063 46.528635
    Unten rechts KachelX + 1 107795 KachelY + 1 46352 2.02576544 0.81207787 116.067810 46.528635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81211085-0.81207787) × R
    3.29800000000713e-05 × 6371000     		dl = 210.115580000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81211085-0.81207787) × R
    3.29800000000713e-05 × 6371000     		dr = 210.115580000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02571750-2.02576544) × cos(0.81211085) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687968036410802 × 6371000     		do = 210.123146616978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02571750-2.02576544) × cos(0.81207787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687991970974419 × 6371000     		du = 210.130456848783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81211085)-sin(0.81207787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687968036410802-0.687991970974419)×R²
    abs(2.02576544-2.02571750)×2.39345636174892e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39345636174892e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39345636174892e-05×40589641000000     		ar = 44150.9148237143m²