Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107793 / 46353
↖ ↑ ↗
← N 46.526745°
E116.062317°		 ← 210.09 m → N 46.526745°
E116.065063°		 →
↑
210.12 m
↓
↑
210.12 m
↓
N 46.524855°
E116.062317°		 ← 210.10 m →
44 145 m²		 N 46.524855°
E116.065063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822399139404297 y=0.353649139404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822399139404297 × 217)
    floor (0.822399139404297 × 131072)
    floor (107793.5)     		tx = 107793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353649139404297 × 217)
    floor (0.353649139404297 × 131072)
    floor (46353.5)     		ty = 46353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107793 / 46353 ti = "17/107793/46353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107793/46353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107793 ÷ 217
    107793 ÷ 131072     		x = 0.822395324707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46353 ÷ 217
    46353 ÷ 131072     		y = 0.353645324707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822395324707031 × 2 - 1) × π
    0.644790649414062 × 3.1415926535     		Λ = 2.02566957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353645324707031 × 2 - 1) × π
    0.292709350585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.919573545411537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02566957} λ = 2.02566957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.919573545411537))-π/2
    2×atan(2.50822051967748)-π/2
    2×1.19142060894566-π/2
    2.38284121789132-1.57079632675     		φ = 0.81204489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02566957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.062317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81204489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.526745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107793 KachelY 46353 2.02566957 0.81204489 116.062317 46.526745
    Oben rechts KachelX + 1 107794 KachelY 46353 2.02571750 0.81204489 116.065063 46.526745
    Unten links KachelX 107793 KachelY + 1 46354 2.02566957 0.81201191 116.062317 46.524855
    Unten rechts KachelX + 1 107794 KachelY + 1 46354 2.02571750 0.81201191 116.065063 46.524855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81204489-0.81201191) × R
    3.29800000000713e-05 × 6371000     		dl = 210.115580000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81204489-0.81201191) × R
    3.29800000000713e-05 × 6371000     		dr = 210.115580000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02566957-2.02571750) × cos(0.81204489) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.688015904789721 × 6371000     		do = 210.093933359005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02566957-2.02571750) × cos(0.81201191) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.688039837856682 × 6371000     		du = 210.101241608916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81204489)-sin(0.81201191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688015904789721-0.688039837856682)×R²
    abs(2.02571750-2.02566957)×2.39330669606908e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39330669606908e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39330669606908e-05×40589641000000     		ar = 44144.7764547727m²