Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107788 / 100324
↖ ↑ ↗
← S 68.628548°
E116.048584°		 ← 111.30 m → S 68.628548°
E116.051331°		 →
↑
111.24 m
↓
↑
111.24 m
↓
S 68.629548°
E116.048584°		 ← 111.30 m →
12 381 m²		 S 68.629548°
E116.051331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822360992431641 y=0.765415191650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822360992431641 × 217)
    floor (0.822360992431641 × 131072)
    floor (107788.5)     		tx = 107788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765415191650391 × 217)
    floor (0.765415191650391 × 131072)
    floor (100324.5)     		ty = 100324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107788 / 100324 ti = "17/107788/100324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107788/100324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107788 ÷ 217
    107788 ÷ 131072     		x = 0.822357177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100324 ÷ 217
    100324 ÷ 131072     		y = 0.765411376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822357177734375 × 2 - 1) × π
    0.64471435546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02542988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765411376953125 × 2 - 1) × π
    -0.53082275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66762886398251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02542988} λ = 2.02542988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66762886398251))-π/2
    2×atan(0.188693954644199)-π/2
    2×0.186501105340239-π/2
    0.373002210680478-1.57079632675     		φ = -1.19779412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02542988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.048584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19779412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.628548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107788 KachelY 100324 2.02542988 -1.19779412 116.048584 -68.628548
    Oben rechts KachelX + 1 107789 KachelY 100324 2.02547782 -1.19779412 116.051331 -68.628548
    Unten links KachelX 107788 KachelY + 1 100325 2.02542988 -1.19781158 116.048584 -68.629548
    Unten rechts KachelX + 1 107789 KachelY + 1 100325 2.02547782 -1.19781158 116.051331 -68.629548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19779412--1.19781158) × R
    1.74600000000247e-05 × 6371000     		dl = 111.237660000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19779412--1.19781158) × R
    1.74600000000247e-05 × 6371000     		dr = 111.237660000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02542988-2.02547782) × cos(-1.19779412) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.364412837589138 × 6371000     		do = 111.301060586089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02542988-2.02547782) × cos(-1.19781158) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.364396578126821 × 6371000     		du = 111.296094527779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19779412)-sin(-1.19781158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364412837589138-0.364396578126821)×R²
    abs(2.02547782-2.02542988)×1.62594623175916e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62594623175916e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62594623175916e-05×40589641000000     		ar = 12380.593329254m²