Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107787 / 100318
↖ ↑ ↗
← S 68.622541°
E116.045838°		 ← 111.31 m → S 68.622541°
E116.048584°		 →
↑
111.30 m
↓
↑
111.30 m
↓
S 68.623542°
E116.045838°		 ← 111.30 m →
12 388 m²		 S 68.623542°
E116.048584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822353363037109 y=0.765369415283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822353363037109 × 217)
    floor (0.822353363037109 × 131072)
    floor (107787.5)     		tx = 107787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765369415283203 × 217)
    floor (0.765369415283203 × 131072)
    floor (100318.5)     		ty = 100318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107787 / 100318 ti = "17/107787/100318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107787/100318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107787 ÷ 217
    107787 ÷ 131072     		x = 0.822349548339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100318 ÷ 217
    100318 ÷ 131072     		y = 0.765365600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822349548339844 × 2 - 1) × π
    0.644699096679688 × 3.1415926535     		Λ = 2.02538195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765365600585938 × 2 - 1) × π
    -0.530731201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66734124258479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02538195} λ = 2.02538195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66734124258479))-π/2
    2×atan(0.188748234868878)-π/2
    2×0.186553518824511-π/2
    0.373107037649023-1.57079632675     		φ = -1.19768929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02538195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.045838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19768929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.622541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107787 KachelY 100318 2.02538195 -1.19768929 116.045838 -68.622541
    Oben rechts KachelX + 1 107788 KachelY 100318 2.02542988 -1.19768929 116.048584 -68.622541
    Unten links KachelX 107787 KachelY + 1 100319 2.02538195 -1.19770676 116.045838 -68.623542
    Unten rechts KachelX + 1 107788 KachelY + 1 100319 2.02542988 -1.19770676 116.048584 -68.623542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19768929--1.19770676) × R
    1.74699999999639e-05 × 6371000     		dl = 111.30136999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19768929--1.19770676) × R
    1.74699999999639e-05 × 6371000     		dr = 111.30136999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02538195-2.02542988) × cos(-1.19768929) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.364510457213893 × 6371000     		do = 111.307653171131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02538195-2.02542988) × cos(-1.19770676) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.36449418910659 × 6371000     		du = 111.30268550886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19768929)-sin(-1.19770676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364510457213893-0.36449418910659)×R²
    abs(2.02542988-2.02538195)×1.62681073032633e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62681073032633e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62681073032633e-05×40589641000000     		ar = 12388.4178358396m²