Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107785 / 100311
↖ ↑ ↗
← S 68.615532°
E116.040344°		 ← 111.37 m → S 68.615532°
E116.043091°		 →
↑
111.30 m
↓
↑
111.30 m
↓
S 68.616533°
E116.040344°		 ← 111.36 m →
12 395 m²		 S 68.616533°
E116.043091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822338104248047 y=0.765316009521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822338104248047 × 217)
    floor (0.822338104248047 × 131072)
    floor (107785.5)     		tx = 107785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765316009521484 × 217)
    floor (0.765316009521484 × 131072)
    floor (100311.5)     		ty = 100311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107785 / 100311 ti = "17/107785/100311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107785/100311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107785 ÷ 217
    107785 ÷ 131072     		x = 0.822334289550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100311 ÷ 217
    100311 ÷ 131072     		y = 0.765312194824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822334289550781 × 2 - 1) × π
    0.644668579101562 × 3.1415926535     		Λ = 2.02528607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765312194824219 × 2 - 1) × π
    -0.530624389648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.66700568428745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02528607} λ = 2.02528607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66700568428745))-π/2
    2×atan(0.188811581532852)-π/2
    2×0.186614685634634-π/2
    0.373229371269269-1.57079632675     		φ = -1.19756696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02528607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.040344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19756696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.615532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107785 KachelY 100311 2.02528607 -1.19756696 116.040344 -68.615532
    Oben rechts KachelX + 1 107786 KachelY 100311 2.02533401 -1.19756696 116.043091 -68.615532
    Unten links KachelX 107785 KachelY + 1 100312 2.02528607 -1.19758443 116.040344 -68.616533
    Unten rechts KachelX + 1 107786 KachelY + 1 100312 2.02533401 -1.19758443 116.043091 -68.616533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19756696--1.19758443) × R
    1.74699999999639e-05 × 6371000     		dl = 111.30136999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19756696--1.19758443) × R
    1.74699999999639e-05 × 6371000     		dr = 111.30136999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02528607-2.02533401) × cos(-1.19756696) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.364624368095956 × 6371000     		do = 111.365667447667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02528607-2.02533401) × cos(-1.19758443) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.364608100767754 × 6371000     		du = 111.360698986913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19756696)-sin(-1.19758443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364624368095956-0.364608100767754)×R²
    abs(2.02533401-2.02528607)×1.62673282017578e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62673282017578e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62673282017578e-05×40589641000000     		ar = 12394.8748598684m²