Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107782 / 41666
↖ ↑ ↗
← N 54.670655°
E116.032104°		 ← 176.62 m → N 54.670655°
E116.034851°		 →
↑
176.67 m
↓
↑
176.67 m
↓
N 54.669066°
E116.032104°		 ← 176.63 m →
31 204 m²		 N 54.669066°
E116.034851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822315216064453 y=0.317890167236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822315216064453 × 217)
    floor (0.822315216064453 × 131072)
    floor (107782.5)     		tx = 107782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317890167236328 × 217)
    floor (0.317890167236328 × 131072)
    floor (41666.5)     		ty = 41666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107782 / 41666 ti = "17/107782/41666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107782/41666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107782 ÷ 217
    107782 ÷ 131072     		x = 0.822311401367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41666 ÷ 217
    41666 ÷ 131072     		y = 0.317886352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822311401367188 × 2 - 1) × π
    0.644622802734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02514226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317886352539062 × 2 - 1) × π
    0.364227294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14425379393074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02514226} λ = 2.02514226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14425379393074))-π/2
    2×atan(3.14009732270142)-π/2
    2×1.26248962625209-π/2
    2.52497925250418-1.57079632675     		φ = 0.95418293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02514226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.032104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95418293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.670655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107782 KachelY 41666 2.02514226 0.95418293 116.032104 54.670655
    Oben rechts KachelX + 1 107783 KachelY 41666 2.02519020 0.95418293 116.034851 54.670655
    Unten links KachelX 107782 KachelY + 1 41667 2.02514226 0.95415520 116.032104 54.669066
    Unten rechts KachelX + 1 107783 KachelY + 1 41667 2.02519020 0.95415520 116.034851 54.669066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95418293-0.95415520) × R
    2.77300000000036e-05 × 6371000     		dl = 176.667830000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95418293-0.95415520) × R
    2.77300000000036e-05 × 6371000     		dr = 176.667830000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02514226-2.02519020) × cos(0.95418293) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.578275550449524 × 6371000     		do = 176.620237919837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02514226-2.02519020) × cos(0.95415520) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.578298173512571 × 6371000     		du = 176.62714758561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95418293)-sin(0.95415520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578275550449524-0.578298173512571)×R²
    abs(2.02519020-2.02514226)×2.26230630472335e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26230630472335e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26230630472335e-05×40589641000000     		ar = 31203.7245270616m²