Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107780 / 46333
↖ ↑ ↗
← N 46.564526°
E116.026611°		 ← 209.95 m → N 46.564526°
E116.029358°		 →
↑
209.99 m
↓
↑
209.99 m
↓
N 46.562637°
E116.026611°		 ← 209.96 m →
44 087 m²		 N 46.562637°
E116.029358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822299957275391 y=0.353496551513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822299957275391 × 217)
    floor (0.822299957275391 × 131072)
    floor (107780.5)     		tx = 107780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353496551513672 × 217)
    floor (0.353496551513672 × 131072)
    floor (46333.5)     		ty = 46333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107780 / 46333 ti = "17/107780/46333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107780/46333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107780 ÷ 217
    107780 ÷ 131072     		x = 0.822296142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46333 ÷ 217
    46333 ÷ 131072     		y = 0.353492736816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822296142578125 × 2 - 1) × π
    0.64459228515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02504639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353492736816406 × 2 - 1) × π
    0.293014526367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.920532283403938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02504639} λ = 2.02504639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.920532283403938))-π/2
    2×atan(2.51062639910273)-π/2
    2×1.19175030770744-π/2
    2.38350061541489-1.57079632675     		φ = 0.81270429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02504639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.026611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81270429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.564526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107780 KachelY 46333 2.02504639 0.81270429 116.026611 46.564526
    Oben rechts KachelX + 1 107781 KachelY 46333 2.02509432 0.81270429 116.029358 46.564526
    Unten links KachelX 107780 KachelY + 1 46334 2.02504639 0.81267133 116.026611 46.562637
    Unten rechts KachelX + 1 107781 KachelY + 1 46334 2.02509432 0.81267133 116.029358 46.562637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81270429-0.81267133) × R
    3.29599999999708e-05 × 6371000     		dl = 209.988159999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81270429-0.81267133) × R
    3.29599999999708e-05 × 6371000     		dr = 209.988159999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02504639-2.02509432) × cos(0.81270429) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.68753723156328 × 6371000     		do = 209.947764730872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02504639-2.02509432) × cos(0.81267133) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.687561165065057 × 6371000     		du = 209.955073113559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81270429)-sin(0.81267133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68753723156328-0.687561165065057)×R²
    abs(2.02509432-2.02504639)×2.39335017775399e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39335017775399e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39335017775399e-05×40589641000000     		ar = 44087.3121528637m²