Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107778 / 41678
↖ ↑ ↗
← N 54.651591°
E116.021118°		 ← 176.70 m → N 54.651591°
E116.023865°		 →
↑
176.73 m
↓
↑
176.73 m
↓
N 54.650001°
E116.021118°		 ← 176.71 m →
31 230 m²		 N 54.650001°
E116.023865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822284698486328 y=0.317981719970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822284698486328 × 217)
    floor (0.822284698486328 × 131072)
    floor (107778.5)     		tx = 107778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317981719970703 × 217)
    floor (0.317981719970703 × 131072)
    floor (41678.5)     		ty = 41678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107778 / 41678 ti = "17/107778/41678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107778/41678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107778 ÷ 217
    107778 ÷ 131072     		x = 0.822280883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41678 ÷ 217
    41678 ÷ 131072     		y = 0.317977905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822280883789062 × 2 - 1) × π
    0.644561767578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02495051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317977905273438 × 2 - 1) × π
    0.364044189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1436785511353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02495051} λ = 2.02495051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1436785511353))-π/2
    2×atan(3.13829152377576)-π/2
    2×1.26232326279735-π/2
    2.5246465255947-1.57079632675     		φ = 0.95385020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02495051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.021118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95385020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.651591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107778 KachelY 41678 2.02495051 0.95385020 116.021118 54.651591
    Oben rechts KachelX + 1 107779 KachelY 41678 2.02499845 0.95385020 116.023865 54.651591
    Unten links KachelX 107778 KachelY + 1 41679 2.02495051 0.95382246 116.021118 54.650001
    Unten rechts KachelX + 1 107779 KachelY + 1 41679 2.02499845 0.95382246 116.023865 54.650001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95385020-0.95382246) × R
    2.77399999999428e-05 × 6371000     		dl = 176.731539999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95385020-0.95382246) × R
    2.77399999999428e-05 × 6371000     		dr = 176.731539999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02495051-2.02499845) × cos(0.95385020) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.578546973383645 × 6371000     		do = 176.703137470344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02495051-2.02499845) × cos(0.95382246) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.578569599266147 × 6371000     		du = 176.71004799725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95385020)-sin(0.95382246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578546973383645-0.578569599266147)×R²
    abs(2.02499845-2.02495051)×2.26258825020142e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26258825020142e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26258825020142e-05×40589641000000     		ar = 31229.6282640559m²