Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107777 / 46340
↖ ↑ ↗
← N 46.551305°
E116.018372°		 ← 210 m → N 46.551305°
E116.021118°		 →
↑
210.05 m
↓
↑
210.05 m
↓
N 46.549416°
E116.018372°		 ← 210.01 m →
44 111 m²		 N 46.549416°
E116.021118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822277069091797 y=0.353549957275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822277069091797 × 217)
    floor (0.822277069091797 × 131072)
    floor (107777.5)     		tx = 107777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353549957275391 × 217)
    floor (0.353549957275391 × 131072)
    floor (46340.5)     		ty = 46340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107777 / 46340 ti = "17/107777/46340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107777/46340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107777 ÷ 217
    107777 ÷ 131072     		x = 0.822273254394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46340 ÷ 217
    46340 ÷ 131072     		y = 0.353546142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822273254394531 × 2 - 1) × π
    0.644546508789062 × 3.1415926535     		Λ = 2.02490258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353546142578125 × 2 - 1) × π
    0.29290771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.920196725106598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02490258} λ = 2.02490258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.920196725106598))-π/2
    2×atan(2.50978407891466)-π/2
    2×1.19163493924183-π/2
    2.38326987848366-1.57079632675     		φ = 0.81247355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02490258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.018372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81247355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.551305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107777 KachelY 46340 2.02490258 0.81247355 116.018372 46.551305
    Oben rechts KachelX + 1 107778 KachelY 46340 2.02495051 0.81247355 116.021118 46.551305
    Unten links KachelX 107777 KachelY + 1 46341 2.02490258 0.81244058 116.018372 46.549416
    Unten rechts KachelX + 1 107778 KachelY + 1 46341 2.02495051 0.81244058 116.021118 46.549416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81247355-0.81244058) × R
    3.2970000000021e-05 × 6371000     		dl = 210.051870000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81247355-0.81244058) × R
    3.2970000000021e-05 × 6371000     		dr = 210.051870000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02490258-2.02495051) × cos(0.81247355) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.687704764908881 × 6371000     		do = 209.998923053377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02490258-2.02495051) × cos(0.81244058) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.687728700440757 × 6371000     		du = 210.00623205598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81247355)-sin(0.81244058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687704764908881-0.687728700440757)×R²
    abs(2.02495051-2.02490258)×2.39355318758516e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39355318758516e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39355318758516e-05×40589641000000     		ar = 44111.4341241868m²