Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107772 / 41767
↖ ↑ ↗
← N 54.509921°
E116.004639°		 ← 177.32 m → N 54.509921°
E116.007385°		 →
↑
177.30 m
↓
↑
177.30 m
↓
N 54.508327°
E116.004639°		 ← 177.33 m →
31 440 m²		 N 54.508327°
E116.007385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822238922119141 y=0.318660736083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822238922119141 × 217)
    floor (0.822238922119141 × 131072)
    floor (107772.5)     		tx = 107772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318660736083984 × 217)
    floor (0.318660736083984 × 131072)
    floor (41767.5)     		ty = 41767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107772 / 41767 ti = "17/107772/41767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107772/41767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107772 ÷ 217
    107772 ÷ 131072     		x = 0.822235107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41767 ÷ 217
    41767 ÷ 131072     		y = 0.318656921386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822235107421875 × 2 - 1) × π
    0.64447021484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02466289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318656921386719 × 2 - 1) × π
    0.362686157226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.13941216706911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02466289} λ = 2.02466289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13941216706911))-π/2
    2×atan(3.12493088789159)-π/2
    2×1.26108696242127-π/2
    2.52217392484254-1.57079632675     		φ = 0.95137760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02466289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.004639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95137760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.509921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107772 KachelY 41767 2.02466289 0.95137760 116.004639 54.509921
    Oben rechts KachelX + 1 107773 KachelY 41767 2.02471083 0.95137760 116.007385 54.509921
    Unten links KachelX 107772 KachelY + 1 41768 2.02466289 0.95134977 116.004639 54.508327
    Unten rechts KachelX + 1 107773 KachelY + 1 41768 2.02471083 0.95134977 116.007385 54.508327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95137760-0.95134977) × R
    2.7830000000062e-05 × 6371000     		dl = 177.304930000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95137760-0.95134977) × R
    2.7830000000062e-05 × 6371000     		dr = 177.304930000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02466289-2.02471083) × cos(0.95137760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.580561976665224 × 6371000     		do = 177.318571338723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02466289-2.02471083) × cos(0.95134977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.580584636073327 × 6371000     		du = 177.32549210521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95137760)-sin(0.95134977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580561976665224-0.580584636073327)×R²
    abs(2.02471083-2.02466289)×2.26594081027542e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26594081027542e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26594081027542e-05×40589641000000     		ar = 31440.0704239226m²