Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107771 / 41733
↖ ↑ ↗
← N 54.564100°
E116.001892°		 ← 177.05 m → N 54.564100°
E116.004639°		 →
↑
177.05 m
↓
↑
177.05 m
↓
N 54.562508°
E116.001892°		 ← 177.05 m →
31 347 m²		 N 54.562508°
E116.004639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822231292724609 y=0.318401336669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822231292724609 × 217)
    floor (0.822231292724609 × 131072)
    floor (107771.5)     		tx = 107771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318401336669922 × 217)
    floor (0.318401336669922 × 131072)
    floor (41733.5)     		ty = 41733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107771 / 41733 ti = "17/107771/41733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107771/41733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107771 ÷ 217
    107771 ÷ 131072     		x = 0.822227478027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41733 ÷ 217
    41733 ÷ 131072     		y = 0.318397521972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822227478027344 × 2 - 1) × π
    0.644454956054688 × 3.1415926535     		Λ = 2.02461496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318397521972656 × 2 - 1) × π
    0.363204956054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.1410420216562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02461496} λ = 2.02461496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1410420216562))-π/2
    2×atan(3.13002822366319)-π/2
    2×1.26155976436622-π/2
    2.52311952873244-1.57079632675     		φ = 0.95232320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02461496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.001892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95232320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.564100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107771 KachelY 41733 2.02461496 0.95232320 116.001892 54.564100
    Oben rechts KachelX + 1 107772 KachelY 41733 2.02466289 0.95232320 116.004639 54.564100
    Unten links KachelX 107771 KachelY + 1 41734 2.02461496 0.95229541 116.001892 54.562508
    Unten rechts KachelX + 1 107772 KachelY + 1 41734 2.02466289 0.95229541 116.004639 54.562508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95232320-0.95229541) × R
    2.7790000000083e-05 × 6371000     		dl = 177.050090000529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95232320-0.95229541) × R
    2.7790000000083e-05 × 6371000     		dr = 177.050090000529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02461496-2.02466289) × cos(0.95232320) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.579791794516829 × 6371000     		do = 177.04639935111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02461496-2.02466289) × cos(0.95229541) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.579814436603252 × 6371000     		du = 177.053313384584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95232320)-sin(0.95229541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579791794516829-0.579814436603252)×R²
    abs(2.02466289-2.02461496)×2.2642086422886e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2642086422886e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2642086422886e-05×40589641000000     		ar = 31346.6930064983m²