Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107770 / 41769
↖ ↑ ↗
← N 54.506732°
E115.999146°		 ← 177.33 m → N 54.506732°
E116.001892°		 →
↑
177.37 m
↓
↑
177.37 m
↓
N 54.505137°
E115.999146°		 ← 177.34 m →
31 454 m²		 N 54.505137°
E116.001892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822223663330078 y=0.318675994873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822223663330078 × 217)
    floor (0.822223663330078 × 131072)
    floor (107770.5)     		tx = 107770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318675994873047 × 217)
    floor (0.318675994873047 × 131072)
    floor (41769.5)     		ty = 41769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107770 / 41769 ti = "17/107770/41769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107770/41769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107770 ÷ 217
    107770 ÷ 131072     		x = 0.822219848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41769 ÷ 217
    41769 ÷ 131072     		y = 0.318672180175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822219848632812 × 2 - 1) × π
    0.644439697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02456702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318672180175781 × 2 - 1) × π
    0.362655639648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.13931629326987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02456702} λ = 2.02456702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13931629326987))-π/2
    2×atan(3.1246313032564)-π/2
    2×1.26105913099374-π/2
    2.52211826198747-1.57079632675     		φ = 0.95132194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02456702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.999146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95132194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.506732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107770 KachelY 41769 2.02456702 0.95132194 115.999146 54.506732
    Oben rechts KachelX + 1 107771 KachelY 41769 2.02461496 0.95132194 116.001892 54.506732
    Unten links KachelX 107770 KachelY + 1 41770 2.02456702 0.95129410 115.999146 54.505137
    Unten rechts KachelX + 1 107771 KachelY + 1 41770 2.02461496 0.95129410 116.001892 54.505137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95132194-0.95129410) × R
    2.78400000000012e-05 × 6371000     		dl = 177.368640000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95132194-0.95129410) × R
    2.78400000000012e-05 × 6371000     		dr = 177.368640000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02456702-2.02461496) × cos(0.95132194) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.580607295031762 × 6371000     		do = 177.332412734358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02456702-2.02461496) × cos(0.95129410) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.580629961682187 × 6371000     		du = 177.339335712837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95132194)-sin(0.95129410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580607295031762-0.580629961682187)×R²
    abs(2.02461496-2.02456702)×2.26666504250517e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26666504250517e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26666504250517e-05×40589641000000     		ar = 31453.822836355m²