Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107769 / 41768
↖ ↑ ↗
← N 54.508327°
E115.996399°		 ← 177.33 m → N 54.508327°
E115.999146°		 →
↑
177.30 m
↓
↑
177.30 m
↓
N 54.506732°
E115.996399°		 ← 177.33 m →
31 441 m²		 N 54.506732°
E115.999146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822216033935547 y=0.318668365478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822216033935547 × 217)
    floor (0.822216033935547 × 131072)
    floor (107769.5)     		tx = 107769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318668365478516 × 217)
    floor (0.318668365478516 × 131072)
    floor (41768.5)     		ty = 41768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107769 / 41768 ti = "17/107769/41768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107769/41768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107769 ÷ 217
    107769 ÷ 131072     		x = 0.822212219238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41768 ÷ 217
    41768 ÷ 131072     		y = 0.31866455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822212219238281 × 2 - 1) × π
    0.644424438476562 × 3.1415926535     		Λ = 2.02451908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31866455078125 × 2 - 1) × π
    0.3626708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13936423016949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02451908} λ = 2.02451908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13936423016949))-π/2
    2×atan(3.1247810919837)-π/2
    2×1.26107304697907-π/2
    2.52214609395814-1.57079632675     		φ = 0.95134977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02451908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.996399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95134977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.508327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107769 KachelY 41768 2.02451908 0.95134977 115.996399 54.508327
    Oben rechts KachelX + 1 107770 KachelY 41768 2.02456702 0.95134977 115.999146 54.508327
    Unten links KachelX 107769 KachelY + 1 41769 2.02451908 0.95132194 115.996399 54.506732
    Unten rechts KachelX + 1 107770 KachelY + 1 41769 2.02456702 0.95132194 115.999146 54.506732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95134977-0.95132194) × R
    2.78299999999509e-05 × 6371000     		dl = 177.304929999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95134977-0.95132194) × R
    2.78299999999509e-05 × 6371000     		dr = 177.304929999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02451908-2.02456702) × cos(0.95134977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.580584636073327 × 6371000     		do = 177.32549210521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02451908-2.02456702) × cos(0.95132194) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.580607295031762 × 6371000     		du = 177.332412734358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95134977)-sin(0.95132194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580584636073327-0.580607295031762)×R²
    abs(2.02456702-2.02451908)×2.26589584345627e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26589584345627e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26589584345627e-05×40589641000000     		ar = 31441.2974976524m²