Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107769 / 41687
↖ ↑ ↗
← N 54.637287°
E115.996399°		 ← 176.77 m → N 54.637287°
E115.999146°		 →
↑
176.73 m
↓
↑
176.73 m
↓
N 54.635697°
E115.996399°		 ← 176.77 m →
31 241 m²		 N 54.635697°
E115.999146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822216033935547 y=0.318050384521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822216033935547 × 217)
    floor (0.822216033935547 × 131072)
    floor (107769.5)     		tx = 107769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318050384521484 × 217)
    floor (0.318050384521484 × 131072)
    floor (41687.5)     		ty = 41687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107769 / 41687 ti = "17/107769/41687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107769/41687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107769 ÷ 217
    107769 ÷ 131072     		x = 0.822212219238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41687 ÷ 217
    41687 ÷ 131072     		y = 0.318046569824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822212219238281 × 2 - 1) × π
    0.644424438476562 × 3.1415926535     		Λ = 2.02451908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318046569824219 × 2 - 1) × π
    0.363906860351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.14324711903872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02451908} λ = 2.02451908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14324711903872))-π/2
    2×atan(3.13693785611281)-π/2
    2×1.2621984389703-π/2
    2.5243968779406-1.57079632675     		φ = 0.95360055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02451908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.996399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95360055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.637287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107769 KachelY 41687 2.02451908 0.95360055 115.996399 54.637287
    Oben rechts KachelX + 1 107770 KachelY 41687 2.02456702 0.95360055 115.999146 54.637287
    Unten links KachelX 107769 KachelY + 1 41688 2.02451908 0.95357281 115.996399 54.635697
    Unten rechts KachelX + 1 107770 KachelY + 1 41688 2.02456702 0.95357281 115.999146 54.635697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95360055-0.95357281) × R
    2.77399999999428e-05 × 6371000     		dl = 176.731539999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95360055-0.95357281) × R
    2.77399999999428e-05 × 6371000     		dr = 176.731539999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02451908-2.02456702) × cos(0.95360055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.578750582141962 × 6371000     		do = 176.765324826023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02451908-2.02456702) × cos(0.95357281) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.578773204017074 × 6371000     		du = 176.77223412897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95360055)-sin(0.95357281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578750582141962-0.578773204017074)×R²
    abs(2.02456702-2.02451908)×2.26218751124829e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26218751124829e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26218751124829e-05×40589641000000     		ar = 31240.6186227956m²