Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107768 / 41763
↖ ↑ ↗
← N 54.516299°
E115.993652°		 ← 177.29 m → N 54.516299°
E115.996399°		 →
↑
177.30 m
↓
↑
177.30 m
↓
N 54.514704°
E115.993652°		 ← 177.30 m →
31 435 m²		 N 54.514704°
E115.996399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822208404541016 y=0.318630218505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822208404541016 × 217)
    floor (0.822208404541016 × 131072)
    floor (107768.5)     		tx = 107768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318630218505859 × 217)
    floor (0.318630218505859 × 131072)
    floor (41763.5)     		ty = 41763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107768 / 41763 ti = "17/107768/41763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107768/41763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107768 ÷ 217
    107768 ÷ 131072     		x = 0.82220458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41763 ÷ 217
    41763 ÷ 131072     		y = 0.318626403808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82220458984375 × 2 - 1) × π
    0.6444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02447114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318626403808594 × 2 - 1) × π
    0.362747192382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.13960391466759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02447114} λ = 2.02447114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13960391466759))-π/2
    2×atan(3.12553014333582)-π/2
    2×1.26114261875895-π/2
    2.5222852375179-1.57079632675     		φ = 0.95148891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02447114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.993652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95148891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.516299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107768 KachelY 41763 2.02447114 0.95148891 115.993652 54.516299
    Oben rechts KachelX + 1 107769 KachelY 41763 2.02451908 0.95148891 115.996399 54.516299
    Unten links KachelX 107768 KachelY + 1 41764 2.02447114 0.95146108 115.993652 54.514704
    Unten rechts KachelX + 1 107769 KachelY + 1 41764 2.02451908 0.95146108 115.996399 54.514704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95148891-0.95146108) × R
    2.7830000000062e-05 × 6371000     		dl = 177.304930000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95148891-0.95146108) × R
    2.7830000000062e-05 × 6371000     		dr = 177.304930000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02447114-2.02451908) × cos(0.95148891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.580471342679292 × 6371000     		do = 177.2908893865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02447114-2.02451908) × cos(0.95146108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.580494003885729 × 6371000     		du = 177.297810702245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95148891)-sin(0.95146108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580471342679292-0.580494003885729)×R²
    abs(2.02451908-2.02447114)×2.26612064375686e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26612064375686e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26612064375686e-05×40589641000000     		ar = 31435.162326027m²