Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107768 / 41688
↖ ↑ ↗
← N 54.635697°
E115.993652°		 ← 176.77 m → N 54.635697°
E115.996399°		 →
↑
176.80 m
↓
↑
176.80 m
↓
N 54.634108°
E115.993652°		 ← 176.78 m →
31 253 m²		 N 54.634108°
E115.996399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822208404541016 y=0.318058013916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822208404541016 × 217)
    floor (0.822208404541016 × 131072)
    floor (107768.5)     		tx = 107768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318058013916016 × 217)
    floor (0.318058013916016 × 131072)
    floor (41688.5)     		ty = 41688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107768 / 41688 ti = "17/107768/41688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107768/41688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107768 ÷ 217
    107768 ÷ 131072     		x = 0.82220458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41688 ÷ 217
    41688 ÷ 131072     		y = 0.31805419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82220458984375 × 2 - 1) × π
    0.6444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02447114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31805419921875 × 2 - 1) × π
    0.3638916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1431991821391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02447114} λ = 2.02447114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1431991821391))-π/2
    2×atan(3.13678748464189)-π/2
    2×1.2621845669449-π/2
    2.5243691338898-1.57079632675     		φ = 0.95357281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02447114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.993652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95357281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.635697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107768 KachelY 41688 2.02447114 0.95357281 115.993652 54.635697
    Oben rechts KachelX + 1 107769 KachelY 41688 2.02451908 0.95357281 115.996399 54.635697
    Unten links KachelX 107768 KachelY + 1 41689 2.02447114 0.95354506 115.993652 54.634108
    Unten rechts KachelX + 1 107769 KachelY + 1 41689 2.02451908 0.95354506 115.996399 54.634108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95357281-0.95354506) × R
    2.77499999999931e-05 × 6371000     		dl = 176.795249999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95357281-0.95354506) × R
    2.77499999999931e-05 × 6371000     		dr = 176.795249999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02447114-2.02451908) × cos(0.95357281) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.578773204017074 × 6371000     		do = 176.77223412897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02447114-2.02451908) × cos(0.95354506) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.578795833601541 × 6371000     		du = 176.779145786552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95357281)-sin(0.95354506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578773204017074-0.578795833601541)×R²
    abs(2.02451908-2.02447114)×2.26295844670821e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26295844670821e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26295844670821e-05×40589641000000     		ar = 31253.1023020191m²