Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107768 / 41686
↖ ↑ ↗
← N 54.638876°
E115.993652°		 ← 176.76 m → N 54.638876°
E115.996399°		 →
↑
176.73 m
↓
↑
176.73 m
↓
N 54.637287°
E115.993652°		 ← 176.77 m →
31 239 m²		 N 54.637287°
E115.996399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822208404541016 y=0.318042755126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822208404541016 × 217)
    floor (0.822208404541016 × 131072)
    floor (107768.5)     		tx = 107768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318042755126953 × 217)
    floor (0.318042755126953 × 131072)
    floor (41686.5)     		ty = 41686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107768 / 41686 ti = "17/107768/41686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107768/41686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107768 ÷ 217
    107768 ÷ 131072     		x = 0.82220458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41686 ÷ 217
    41686 ÷ 131072     		y = 0.318038940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82220458984375 × 2 - 1) × π
    0.6444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02447114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318038940429688 × 2 - 1) × π
    0.363922119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14329505593834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02447114} λ = 2.02447114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14329505593834))-π/2
    2×atan(3.13708823479225)-π/2
    2×1.26221231045342-π/2
    2.52442462090684-1.57079632675     		φ = 0.95362829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02447114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.993652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95362829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.638876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107768 KachelY 41686 2.02447114 0.95362829 115.993652 54.638876
    Oben rechts KachelX + 1 107769 KachelY 41686 2.02451908 0.95362829 115.996399 54.638876
    Unten links KachelX 107768 KachelY + 1 41687 2.02447114 0.95360055 115.993652 54.637287
    Unten rechts KachelX + 1 107769 KachelY + 1 41687 2.02451908 0.95360055 115.996399 54.637287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95362829-0.95360055) × R
    2.77400000000538e-05 × 6371000     		dl = 176.731540000343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95362829-0.95360055) × R
    2.77400000000538e-05 × 6371000     		dr = 176.731540000343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02447114-2.02451908) × cos(0.95362829) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.578727959821496 × 6371000     		do = 176.758415387055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02447114-2.02451908) × cos(0.95360055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.578750582141962 × 6371000     		du = 176.765324826023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95362829)-sin(0.95360055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578727959821496-0.578750582141962)×R²
    abs(2.02451908-2.02447114)×2.26223204654596e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26223204654596e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26223204654596e-05×40589641000000     		ar = 31239.3975194002m²