Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107767 / 100201
↖ ↑ ↗
← S 68.505099°
E115.990906°		 ← 111.89 m → S 68.505099°
E115.993652°		 →
↑
111.94 m
↓
↑
111.94 m
↓
S 68.506106°
E115.990906°		 ← 111.89 m →
12 525 m²		 S 68.506106°
E115.993652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822200775146484 y=0.764476776123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822200775146484 × 217)
    floor (0.822200775146484 × 131072)
    floor (107767.5)     		tx = 107767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764476776123047 × 217)
    floor (0.764476776123047 × 131072)
    floor (100201.5)     		ty = 100201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107767 / 100201 ti = "17/107767/100201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107767/100201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107767 ÷ 217
    107767 ÷ 131072     		x = 0.822196960449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100201 ÷ 217
    100201 ÷ 131072     		y = 0.764472961425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822196960449219 × 2 - 1) × π
    0.644393920898438 × 3.1415926535     		Λ = 2.02442321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764472961425781 × 2 - 1) × π
    -0.528945922851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.66173262532925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02442321} λ = 2.02442321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66173262532925))-π/2
    2×atan(0.189809825721471)-π/2
    2×0.187578391925434-π/2
    0.375156783850868-1.57079632675     		φ = -1.19563954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02442321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.990906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19563954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.505099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107767 KachelY 100201 2.02442321 -1.19563954 115.990906 -68.505099
    Oben rechts KachelX + 1 107768 KachelY 100201 2.02447114 -1.19563954 115.993652 -68.505099
    Unten links KachelX 107767 KachelY + 1 100202 2.02442321 -1.19565711 115.990906 -68.506106
    Unten rechts KachelX + 1 107768 KachelY + 1 100202 2.02447114 -1.19565711 115.993652 -68.506106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19563954--1.19565711) × R
    1.75700000000223e-05 × 6371000     		dl = 111.938470000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19563954--1.19565711) × R
    1.75700000000223e-05 × 6371000     		dr = 111.938470000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02442321-2.02447114) × cos(-1.19563954) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.366418415891243 × 6371000     		do = 111.890271306003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02442321-2.02447114) × cos(-1.19565711) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.366402067824957 × 6371000     		du = 111.885279227295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19563954)-sin(-1.19565711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366418415891243-0.366402067824957)×R²
    abs(2.02447114-2.02442321)×1.63480662858095e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63480662858095e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63480662858095e-05×40589641000000     		ar = 12524.5463753964m²