Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107766 / 41802
↖ ↑ ↗
← N 54.454073°
E115.988159°		 ← 177.56 m → N 54.454073°
E115.990906°		 →
↑
177.56 m
↓
↑
177.56 m
↓
N 54.452476°
E115.988159°		 ← 177.57 m →
31 528 m²		 N 54.452476°
E115.990906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822193145751953 y=0.318927764892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822193145751953 × 217)
    floor (0.822193145751953 × 131072)
    floor (107766.5)     		tx = 107766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318927764892578 × 217)
    floor (0.318927764892578 × 131072)
    floor (41802.5)     		ty = 41802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107766 / 41802 ti = "17/107766/41802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107766/41802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107766 ÷ 217
    107766 ÷ 131072     		x = 0.822189331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41802 ÷ 217
    41802 ÷ 131072     		y = 0.318923950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822189331054688 × 2 - 1) × π
    0.644378662109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02437527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318923950195312 × 2 - 1) × π
    0.362152099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13773437558241
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02437527} λ = 2.02437527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13773437558241))-π/2
    2×atan(3.11969230130822)-π/2
    2×1.26059959871178-π/2
    2.52119919742356-1.57079632675     		φ = 0.95040287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02437527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.988159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95040287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.454073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107766 KachelY 41802 2.02437527 0.95040287 115.988159 54.454073
    Oben rechts KachelX + 1 107767 KachelY 41802 2.02442321 0.95040287 115.990906 54.454073
    Unten links KachelX 107766 KachelY + 1 41803 2.02437527 0.95037500 115.988159 54.452476
    Unten rechts KachelX + 1 107767 KachelY + 1 41803 2.02442321 0.95037500 115.990906 54.452476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95040287-0.95037500) × R
    2.78700000000409e-05 × 6371000     		dl = 177.559770000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95040287-0.95037500) × R
    2.78700000000409e-05 × 6371000     		dr = 177.559770000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02437527-2.02442321) × cos(0.95040287) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.581355341563519 × 6371000     		do = 177.560885399874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02437527-2.02442321) × cos(0.95037500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.581378017757145 × 6371000     		du = 177.567811293093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95040287)-sin(0.95037500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581355341563519-0.581378017757145)×R²
    abs(2.02442321-2.02437527)×2.26761936257258e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26761936257258e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26761936257258e-05×40589641000000     		ar = 31528.2848546736m²