Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107764 / 41748
↖ ↑ ↗
← N 54.540207°
E115.982666°		 ← 177.15 m → N 54.540207°
E115.985412°		 →
↑
177.18 m
↓
↑
177.18 m
↓
N 54.538613°
E115.982666°		 ← 177.16 m →
31 388 m²		 N 54.538613°
E115.985412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822177886962891 y=0.318515777587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822177886962891 × 217)
    floor (0.822177886962891 × 131072)
    floor (107764.5)     		tx = 107764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318515777587891 × 217)
    floor (0.318515777587891 × 131072)
    floor (41748.5)     		ty = 41748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107764 / 41748 ti = "17/107764/41748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107764/41748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107764 ÷ 217
    107764 ÷ 131072     		x = 0.822174072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41748 ÷ 217
    41748 ÷ 131072     		y = 0.318511962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822174072265625 × 2 - 1) × π
    0.64434814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02427940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318511962890625 × 2 - 1) × π
    0.36297607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1403229681619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02427940} λ = 2.02427940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1403229681619))-π/2
    2×atan(3.12777837490945)-π/2
    2×1.26135125264161-π/2
    2.52270250528322-1.57079632675     		φ = 0.95190618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02427940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.982666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95190618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.540207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107764 KachelY 41748 2.02427940 0.95190618 115.982666 54.540207
    Oben rechts KachelX + 1 107765 KachelY 41748 2.02432733 0.95190618 115.985412 54.540207
    Unten links KachelX 107764 KachelY + 1 41749 2.02427940 0.95187837 115.982666 54.538613
    Unten rechts KachelX + 1 107765 KachelY + 1 41749 2.02432733 0.95187837 115.985412 54.538613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95190618-0.95187837) × R
    2.78100000000725e-05 × 6371000     		dl = 177.177510000462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95190618-0.95187837) × R
    2.78100000000725e-05 × 6371000     		dr = 177.177510000462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02427940-2.02432733) × cos(0.95190618) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.580131517257049 × 6371000     		do = 177.150137776701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02427940-2.02432733) × cos(0.95187837) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.580154168912307 × 6371000     		du = 177.157054732133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95190618)-sin(0.95187837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580131517257049-0.580154168912307)×R²
    abs(2.02432733-2.02427940)×2.26516552579437e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26516552579437e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26516552579437e-05×40589641000000     		ar = 31387.6330739373m²