Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107763 / 46329
↖ ↑ ↗
← N 46.572079°
E115.979919°		 ← 209.96 m → N 46.572079°
E115.982666°		 →
↑
209.92 m
↓
↑
209.92 m
↓
N 46.570191°
E115.979919°		 ← 209.97 m →
44 077 m²		 N 46.570191°
E115.982666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822170257568359 y=0.353466033935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822170257568359 × 217)
    floor (0.822170257568359 × 131072)
    floor (107763.5)     		tx = 107763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353466033935547 × 217)
    floor (0.353466033935547 × 131072)
    floor (46329.5)     		ty = 46329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107763 / 46329 ti = "17/107763/46329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107763/46329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107763 ÷ 217
    107763 ÷ 131072     		x = 0.822166442871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46329 ÷ 217
    46329 ÷ 131072     		y = 0.353462219238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822166442871094 × 2 - 1) × π
    0.644332885742188 × 3.1415926535     		Λ = 2.02423146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353462219238281 × 2 - 1) × π
    0.293075561523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.920724031002419
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02423146} λ = 2.02423146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.920724031002419))-π/2
    2×atan(2.51110785184267)-π/2
    2×1.19181621992503-π/2
    2.38363243985006-1.57079632675     		φ = 0.81283611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02423146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.979919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81283611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.572079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107763 KachelY 46329 2.02423146 0.81283611 115.979919 46.572079
    Oben rechts KachelX + 1 107764 KachelY 46329 2.02427940 0.81283611 115.982666 46.572079
    Unten links KachelX 107763 KachelY + 1 46330 2.02423146 0.81280316 115.979919 46.570191
    Unten rechts KachelX + 1 107764 KachelY + 1 46330 2.02427940 0.81280316 115.982666 46.570191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81283611-0.81280316) × R
    3.29500000000316e-05 × 6371000     		dl = 209.924450000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81283611-0.81280316) × R
    3.29500000000316e-05 × 6371000     		dr = 209.924450000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02423146-2.02427940) × cos(0.81283611) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687441504612084 × 6371000     		do = 209.962330252722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02423146-2.02427940) × cos(0.81280316) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.687465433838738 × 6371000     		du = 209.96963885448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81283611)-sin(0.81280316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687441504612084-0.687465433838738)×R²
    abs(2.02427940-2.02423146)×2.39292266536184e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39292266536184e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39292266536184e-05×40589641000000     		ar = 44076.9938301129m²