Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107763 / 41833
↖ ↑ ↗
← N 54.404545°
E115.979919°		 ← 177.78 m → N 54.404545°
E115.982666°		 →
↑
177.75 m
↓
↑
177.75 m
↓
N 54.402946°
E115.979919°		 ← 177.78 m →
31 600 m²		 N 54.402946°
E115.982666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822170257568359 y=0.319164276123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822170257568359 × 217)
    floor (0.822170257568359 × 131072)
    floor (107763.5)     		tx = 107763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319164276123047 × 217)
    floor (0.319164276123047 × 131072)
    floor (41833.5)     		ty = 41833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107763 / 41833 ti = "17/107763/41833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107763/41833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107763 ÷ 217
    107763 ÷ 131072     		x = 0.822166442871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41833 ÷ 217
    41833 ÷ 131072     		y = 0.319160461425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822166442871094 × 2 - 1) × π
    0.644332885742188 × 3.1415926535     		Λ = 2.02423146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319160461425781 × 2 - 1) × π
    0.361679077148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.13624833169419
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02423146} λ = 2.02423146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13624833169419))-π/2
    2×atan(3.11505974457455)-π/2
    2×1.26016737773913-π/2
    2.52033475547827-1.57079632675     		φ = 0.94953843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02423146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.979919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94953843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.404545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107763 KachelY 41833 2.02423146 0.94953843 115.979919 54.404545
    Oben rechts KachelX + 1 107764 KachelY 41833 2.02427940 0.94953843 115.982666 54.404545
    Unten links KachelX 107763 KachelY + 1 41834 2.02423146 0.94951053 115.979919 54.402946
    Unten rechts KachelX + 1 107764 KachelY + 1 41834 2.02427940 0.94951053 115.982666 54.402946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94953843-0.94951053) × R
    2.79000000000806e-05 × 6371000     		dl = 177.750900000514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94953843-0.94951053) × R
    2.79000000000806e-05 × 6371000     		dr = 177.750900000514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02423146-2.02427940) × cos(0.94953843) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58205847568222 × 6371000     		do = 177.775640658397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02423146-2.02427940) × cos(0.94951053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.582081162255043 × 6371000     		du = 177.78256972169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94953843)-sin(0.94951053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58205847568222-0.582081162255043)×R²
    abs(2.02427940-2.02423146)×2.26865728232273e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26865728232273e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26865728232273e-05×40589641000000     		ar = 31600.3959510064m²