Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107761 / 41809
↖ ↑ ↗
← N 54.442895°
E115.974426°		 ← 177.57 m → N 54.442895°
E115.977173°		 →
↑
177.62 m
↓
↑
177.62 m
↓
N 54.441297°
E115.974426°		 ← 177.58 m →
31 542 m²		 N 54.441297°
E115.977173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822154998779297 y=0.318981170654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822154998779297 × 217)
    floor (0.822154998779297 × 131072)
    floor (107761.5)     		tx = 107761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318981170654297 × 217)
    floor (0.318981170654297 × 131072)
    floor (41809.5)     		ty = 41809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107761 / 41809 ti = "17/107761/41809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107761/41809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107761 ÷ 217
    107761 ÷ 131072     		x = 0.822151184082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41809 ÷ 217
    41809 ÷ 131072     		y = 0.318977355957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822151184082031 × 2 - 1) × π
    0.644302368164062 × 3.1415926535     		Λ = 2.02413559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318977355957031 × 2 - 1) × π
    0.362045288085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.13739881728507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02413559} λ = 2.02413559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13739881728507))-π/2
    2×atan(3.11864563828942)-π/2
    2×1.26050204609156-π/2
    2.52100409218312-1.57079632675     		φ = 0.95020777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02413559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.974426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95020777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.442895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107761 KachelY 41809 2.02413559 0.95020777 115.974426 54.442895
    Oben rechts KachelX + 1 107762 KachelY 41809 2.02418352 0.95020777 115.977173 54.442895
    Unten links KachelX 107761 KachelY + 1 41810 2.02413559 0.95017989 115.974426 54.441297
    Unten rechts KachelX + 1 107762 KachelY + 1 41810 2.02418352 0.95017989 115.977173 54.441297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95020777-0.95017989) × R
    2.78799999999801e-05 × 6371000     		dl = 177.623479999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95020777-0.95017989) × R
    2.78799999999801e-05 × 6371000     		dr = 177.623479999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02413559-2.02418352) × cos(0.95020777) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.581514073570513 × 6371000     		do = 177.572317977525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02413559-2.02418352) × cos(0.95017989) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.581536754737764 × 6371000     		du = 177.579243944799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95020777)-sin(0.95017989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581514073570513-0.581536754737764)×R²
    abs(2.02418352-2.02413559)×2.26811672507932e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.26811672507932e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.26811672507932e-05×40589641000000     		ar = 31541.6281799268m²