Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107755 / 41653
↖ ↑ ↗
← N 54.691297°
E115.957947°		 ← 176.49 m → N 54.691297°
E115.960693°		 →
↑
176.48 m
↓
↑
176.48 m
↓
N 54.689710°
E115.957947°		 ← 176.50 m →
31 148 m²		 N 54.689710°
E115.960693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822109222412109 y=0.317790985107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822109222412109 × 217)
    floor (0.822109222412109 × 131072)
    floor (107755.5)     		tx = 107755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317790985107422 × 217)
    floor (0.317790985107422 × 131072)
    floor (41653.5)     		ty = 41653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107755 / 41653 ti = "17/107755/41653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107755/41653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107755 ÷ 217
    107755 ÷ 131072     		x = 0.822105407714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41653 ÷ 217
    41653 ÷ 131072     		y = 0.317787170410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822105407714844 × 2 - 1) × π
    0.644210815429688 × 3.1415926535     		Λ = 2.02384797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317787170410156 × 2 - 1) × π
    0.364425659179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.1448769736258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02384797} λ = 2.02384797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1448769736258))-π/2
    2×atan(3.14205477745312)-π/2
    2×1.26266976524323-π/2
    2.52533953048647-1.57079632675     		φ = 0.95454320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02384797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.957947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95454320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.691297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107755 KachelY 41653 2.02384797 0.95454320 115.957947 54.691297
    Oben rechts KachelX + 1 107756 KachelY 41653 2.02389590 0.95454320 115.960693 54.691297
    Unten links KachelX 107755 KachelY + 1 41654 2.02384797 0.95451550 115.957947 54.689710
    Unten rechts KachelX + 1 107756 KachelY + 1 41654 2.02389590 0.95451550 115.960693 54.689710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95454320-0.95451550) × R
    2.77000000000749e-05 × 6371000     		dl = 176.476700000477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95454320-0.95451550) × R
    2.77000000000749e-05 × 6371000     		dr = 176.476700000477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02384797-2.02389590) × cos(0.95454320) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.577981589702546 × 6371000     		do = 176.493631534305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02384797-2.02389590) × cos(0.95451550) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.578004194060363 × 6371000     		du = 176.500534046895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95454320)-sin(0.95451550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577981589702546-0.578004194060363)×R²
    abs(2.02389590-2.02384797)×2.2604357817313e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2604357817313e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2604357817313e-05×40589641000000     		ar = 31147.6227325623m²