Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107752 / 41736
↖ ↑ ↗
← N 54.559323°
E115.949707°		 ← 177.10 m → N 54.559323°
E115.952454°		 →
↑
177.11 m
↓
↑
177.11 m
↓
N 54.557730°
E115.949707°		 ← 177.11 m →
31 368 m²		 N 54.557730°
E115.952454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822086334228516 y=0.318424224853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822086334228516 × 217)
    floor (0.822086334228516 × 131072)
    floor (107752.5)     		tx = 107752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318424224853516 × 217)
    floor (0.318424224853516 × 131072)
    floor (41736.5)     		ty = 41736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107752 / 41736 ti = "17/107752/41736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107752/41736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107752 ÷ 217
    107752 ÷ 131072     		x = 0.82208251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41736 ÷ 217
    41736 ÷ 131072     		y = 0.31842041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82208251953125 × 2 - 1) × π
    0.6441650390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02370415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31842041015625 × 2 - 1) × π
    0.3631591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14089821095734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02370415} λ = 2.02370415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14089821095734))-π/2
    2×atan(3.12957812448221)-π/2
    2×1.26151807179225-π/2
    2.5230361435845-1.57079632675     		φ = 0.95223982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02370415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.949707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95223982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.559323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107752 KachelY 41736 2.02370415 0.95223982 115.949707 54.559323
    Oben rechts KachelX + 1 107753 KachelY 41736 2.02375209 0.95223982 115.952454 54.559323
    Unten links KachelX 107752 KachelY + 1 41737 2.02370415 0.95221202 115.949707 54.557730
    Unten rechts KachelX + 1 107753 KachelY + 1 41737 2.02375209 0.95221202 115.952454 54.557730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95223982-0.95221202) × R
    2.77999999999112e-05 × 6371000     		dl = 177.113799999434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95223982-0.95221202) × R
    2.77999999999112e-05 × 6371000     		dr = 177.113799999434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02370415-2.02375209) × cos(0.95223982) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579859727579899 × 6371000     		do = 177.104086392173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02370415-2.02375209) × cos(0.95221202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579882376469766 × 6371000     		du = 177.111003946121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95223982)-sin(0.95221202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579859727579899-0.579882376469766)×R²
    abs(2.02375209-2.02370415)×2.26488898669164e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26488898669164e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26488898669164e-05×40589641000000     		ar = 31368.1903354152m²