Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107749 / 41843
↖ ↑ ↗
← N 54.388554°
E115.941467°		 ← 177.84 m → N 54.388554°
E115.944214°		 →
↑
177.81 m
↓
↑
177.81 m
↓
N 54.386955°
E115.941467°		 ← 177.85 m →
31 624 m²		 N 54.386955°
E115.944214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822063446044922 y=0.319240570068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822063446044922 × 217)
    floor (0.822063446044922 × 131072)
    floor (107749.5)     		tx = 107749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319240570068359 × 217)
    floor (0.319240570068359 × 131072)
    floor (41843.5)     		ty = 41843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107749 / 41843 ti = "17/107749/41843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107749/41843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107749 ÷ 217
    107749 ÷ 131072     		x = 0.822059631347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41843 ÷ 217
    41843 ÷ 131072     		y = 0.319236755371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822059631347656 × 2 - 1) × π
    0.644119262695312 × 3.1415926535     		Λ = 2.02356034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319236755371094 × 2 - 1) × π
    0.361526489257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.13576896269799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02356034} λ = 2.02356034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13576896269799))-π/2
    2×atan(3.11356683936652)-π/2
    2×1.26002784015315-π/2
    2.5200556803063-1.57079632675     		φ = 0.94925935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02356034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.941467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94925935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.388554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107749 KachelY 41843 2.02356034 0.94925935 115.941467 54.388554
    Oben rechts KachelX + 1 107750 KachelY 41843 2.02360828 0.94925935 115.944214 54.388554
    Unten links KachelX 107749 KachelY + 1 41844 2.02356034 0.94923144 115.941467 54.386955
    Unten rechts KachelX + 1 107750 KachelY + 1 41844 2.02360828 0.94923144 115.944214 54.386955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94925935-0.94923144) × R
    2.79099999999088e-05 × 6371000     		dl = 177.814609999419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94925935-0.94923144) × R
    2.79099999999088e-05 × 6371000     		dr = 177.814609999419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02356034-2.02360828) × cos(0.94925935) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58228538605769 × 6371000     		do = 177.844944927739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02356034-2.02360828) × cos(0.94923144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.582308076227123 × 6371000     		du = 177.851875089529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94925935)-sin(0.94923144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58228538605769-0.582308076227123)×R²
    abs(2.02360828-2.02356034)×2.2690169432904e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2690169432904e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2690169432904e-05×40589641000000     		ar = 31624.0456668574m²