Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107748 / 46332
↖ ↑ ↗
← N 46.566414°
E115.938721°		 ← 209.94 m → N 46.566414°
E115.941467°		 →
↑
209.99 m
↓
↑
209.99 m
↓
N 46.564526°
E115.938721°		 ← 209.95 m →
44 086 m²		 N 46.564526°
E115.941467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822055816650391 y=0.353488922119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822055816650391 × 217)
    floor (0.822055816650391 × 131072)
    floor (107748.5)     		tx = 107748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353488922119141 × 217)
    floor (0.353488922119141 × 131072)
    floor (46332.5)     		ty = 46332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107748 / 46332 ti = "17/107748/46332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107748/46332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107748 ÷ 217
    107748 ÷ 131072     		x = 0.822052001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46332 ÷ 217
    46332 ÷ 131072     		y = 0.353485107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822052001953125 × 2 - 1) × π
    0.64410400390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02351241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353485107421875 × 2 - 1) × π
    0.29302978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.920580220303558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02351241} λ = 2.02351241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.920580220303558))-π/2
    2×atan(2.5107467536331)-π/2
    2×1.19176678662228-π/2
    2.38353357324456-1.57079632675     		φ = 0.81273725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02351241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.938721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81273725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.566414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107748 KachelY 46332 2.02351241 0.81273725 115.938721 46.566414
    Oben rechts KachelX + 1 107749 KachelY 46332 2.02356034 0.81273725 115.941467 46.566414
    Unten links KachelX 107748 KachelY + 1 46333 2.02351241 0.81270429 115.938721 46.564526
    Unten rechts KachelX + 1 107749 KachelY + 1 46333 2.02356034 0.81270429 115.941467 46.564526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81273725-0.81270429) × R
    3.29599999999708e-05 × 6371000     		dl = 209.988159999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81273725-0.81270429) × R
    3.29599999999708e-05 × 6371000     		dr = 209.988159999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02351241-2.02356034) × cos(0.81273725) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.687513297314588 × 6371000     		do = 209.940456120105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02351241-2.02356034) × cos(0.81270429) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.68753723156328 × 6371000     		du = 209.947764730872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81273725)-sin(0.81270429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687513297314588-0.68753723156328)×R²
    abs(2.02356034-2.02351241)×2.39342486915151e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39342486915151e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39342486915151e-05×40589641000000     		ar = 44085.7774550744m²