Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107747 / 41734
↖ ↑ ↗
← N 54.562508°
E115.935974°		 ← 177.09 m → N 54.562508°
E115.938721°		 →
↑
177.11 m
↓
↑
177.11 m
↓
N 54.560915°
E115.935974°		 ← 177.10 m →
31 366 m²		 N 54.560915°
E115.938721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822048187255859 y=0.318408966064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822048187255859 × 217)
    floor (0.822048187255859 × 131072)
    floor (107747.5)     		tx = 107747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318408966064453 × 217)
    floor (0.318408966064453 × 131072)
    floor (41734.5)     		ty = 41734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107747 / 41734 ti = "17/107747/41734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107747/41734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107747 ÷ 217
    107747 ÷ 131072     		x = 0.822044372558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41734 ÷ 217
    41734 ÷ 131072     		y = 0.318405151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822044372558594 × 2 - 1) × π
    0.644088745117188 × 3.1415926535     		Λ = 2.02346447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318405151367188 × 2 - 1) × π
    0.363189697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14099408475658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02346447} λ = 2.02346447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14099408475658))-π/2
    2×atan(3.12987818341068)-π/2
    2×1.26154586738435-π/2
    2.52309173476869-1.57079632675     		φ = 0.95229541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02346447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.935974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95229541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.562508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107747 KachelY 41734 2.02346447 0.95229541 115.935974 54.562508
    Oben rechts KachelX + 1 107748 KachelY 41734 2.02351241 0.95229541 115.938721 54.562508
    Unten links KachelX 107747 KachelY + 1 41735 2.02346447 0.95226761 115.935974 54.560915
    Unten rechts KachelX + 1 107748 KachelY + 1 41735 2.02351241 0.95226761 115.938721 54.560915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95229541-0.95226761) × R
    2.77999999999112e-05 × 6371000     		dl = 177.113799999434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95229541-0.95226761) × R
    2.77999999999112e-05 × 6371000     		dr = 177.113799999434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02346447-2.02351241) × cos(0.95229541) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579814436603252 × 6371000     		do = 177.090253362115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02346447-2.02351241) × cos(0.95226761) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579837086389218 × 6371000     		du = 177.097171189755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95229541)-sin(0.95226761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579814436603252-0.579837086389218)×R²
    abs(2.02351241-2.02346447)×2.26497859657782e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26497859657782e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26497859657782e-05×40589641000000     		ar = 31365.7403392779m²