Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107747 / 41640
↖ ↑ ↗
← N 54.711929°
E115.935974°		 ← 176.44 m → N 54.711929°
E115.938721°		 →
↑
176.41 m
↓
↑
176.41 m
↓
N 54.710342°
E115.935974°		 ← 176.45 m →
31 127 m²		 N 54.710342°
E115.938721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822048187255859 y=0.317691802978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822048187255859 × 217)
    floor (0.822048187255859 × 131072)
    floor (107747.5)     		tx = 107747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317691802978516 × 217)
    floor (0.317691802978516 × 131072)
    floor (41640.5)     		ty = 41640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107747 / 41640 ti = "17/107747/41640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107747/41640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107747 ÷ 217
    107747 ÷ 131072     		x = 0.822044372558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41640 ÷ 217
    41640 ÷ 131072     		y = 0.31768798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822044372558594 × 2 - 1) × π
    0.644088745117188 × 3.1415926535     		Λ = 2.02346447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31768798828125 × 2 - 1) × π
    0.3646240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14550015332086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02346447} λ = 2.02346447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14550015332086))-π/2
    2×atan(3.14401345243105)-π/2
    2×1.26284981264877-π/2
    2.52569962529754-1.57079632675     		φ = 0.95490330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02346447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.935974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95490330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.711929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107747 KachelY 41640 2.02346447 0.95490330 115.935974 54.711929
    Oben rechts KachelX + 1 107748 KachelY 41640 2.02351241 0.95490330 115.938721 54.711929
    Unten links KachelX 107747 KachelY + 1 41641 2.02346447 0.95487561 115.935974 54.710342
    Unten rechts KachelX + 1 107748 KachelY + 1 41641 2.02351241 0.95487561 115.938721 54.710342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95490330-0.95487561) × R
    2.76900000000246e-05 × 6371000     		dl = 176.412990000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95490330-0.95487561) × R
    2.76900000000246e-05 × 6371000     		dr = 176.412990000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02346447-2.02351241) × cos(0.95490330) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577687692700602 × 6371000     		do = 176.440691031858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02346447-2.02351241) × cos(0.95487561) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.57771029465988 × 6371000     		du = 176.447594251996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95490330)-sin(0.95487561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577687692700602-0.57771029465988)×R²
    abs(2.02351241-2.02346447)×2.2601959278834e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2601959278834e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2601959278834e-05×40589641000000     		ar = 31127.0387735012m²