Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107746 / 41638
↖ ↑ ↗
← N 54.715102°
E115.933227°		 ← 176.43 m → N 54.715102°
E115.935974°		 →
↑
176.41 m
↓
↑
176.41 m
↓
N 54.713515°
E115.933227°		 ← 176.43 m →
31 125 m²		 N 54.713515°
E115.935974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822040557861328 y=0.317676544189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822040557861328 × 217)
    floor (0.822040557861328 × 131072)
    floor (107746.5)     		tx = 107746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317676544189453 × 217)
    floor (0.317676544189453 × 131072)
    floor (41638.5)     		ty = 41638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107746 / 41638 ti = "17/107746/41638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107746/41638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107746 ÷ 217
    107746 ÷ 131072     		x = 0.822036743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41638 ÷ 217
    41638 ÷ 131072     		y = 0.317672729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822036743164062 × 2 - 1) × π
    0.644073486328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02341653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317672729492188 × 2 - 1) × π
    0.364654541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1455960271201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02341653} λ = 2.02341653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1455960271201))-π/2
    2×atan(3.1443148953956)-π/2
    2×1.2628775041222-π/2
    2.5257550082444-1.57079632675     		φ = 0.95495868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02341653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.933227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95495868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.715102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107746 KachelY 41638 2.02341653 0.95495868 115.933227 54.715102
    Oben rechts KachelX + 1 107747 KachelY 41638 2.02346447 0.95495868 115.935974 54.715102
    Unten links KachelX 107746 KachelY + 1 41639 2.02341653 0.95493099 115.933227 54.713515
    Unten rechts KachelX + 1 107747 KachelY + 1 41639 2.02346447 0.95493099 115.935974 54.713515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95495868-0.95493099) × R
    2.76899999999136e-05 × 6371000     		dl = 176.41298999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95495868-0.95493099) × R
    2.76899999999136e-05 × 6371000     		dr = 176.41298999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02341653-2.02346447) × cos(0.95495868) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577642487453259 × 6371000     		do = 176.426884185737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02341653-2.02346447) × cos(0.95493099) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.577665090298389 × 6371000     		du = 176.433787676436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95495868)-sin(0.95493099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577642487453259-0.577665090298389)×R²
    abs(2.02346447-2.02341653)×2.26028451294491e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26028451294491e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26028451294491e-05×40589641000000     		ar = 31124.6030903094m²