Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107745 / 41636
↖ ↑ ↗
← N 54.718275°
E115.930481°		 ← 176.38 m → N 54.718275°
E115.933227°		 →
↑
176.41 m
↓
↑
176.41 m
↓
N 54.716688°
E115.930481°		 ← 176.38 m →
31 116 m²		 N 54.716688°
E115.933227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822032928466797 y=0.317661285400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822032928466797 × 217)
    floor (0.822032928466797 × 131072)
    floor (107745.5)     		tx = 107745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317661285400391 × 217)
    floor (0.317661285400391 × 131072)
    floor (41636.5)     		ty = 41636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107745 / 41636 ti = "17/107745/41636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107745/41636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107745 ÷ 217
    107745 ÷ 131072     		x = 0.822029113769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41636 ÷ 217
    41636 ÷ 131072     		y = 0.317657470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822029113769531 × 2 - 1) × π
    0.644058227539062 × 3.1415926535     		Λ = 2.02336860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317657470703125 × 2 - 1) × π
    0.36468505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14569190091934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02336860} λ = 2.02336860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14569190091934))-π/2
    2×atan(3.14461636726203)-π/2
    2×1.26290519342856-π/2
    2.52581038685712-1.57079632675     		φ = 0.95501406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02336860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.930481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95501406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.718275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107745 KachelY 41636 2.02336860 0.95501406 115.930481 54.718275
    Oben rechts KachelX + 1 107746 KachelY 41636 2.02341653 0.95501406 115.933227 54.718275
    Unten links KachelX 107745 KachelY + 1 41637 2.02336860 0.95498637 115.930481 54.716688
    Unten rechts KachelX + 1 107746 KachelY + 1 41637 2.02341653 0.95498637 115.933227 54.716688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95501406-0.95498637) × R
    2.76900000000246e-05 × 6371000     		dl = 176.412990000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95501406-0.95498637) × R
    2.76900000000246e-05 × 6371000     		dr = 176.412990000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02336860-2.02341653) × cos(0.95501406) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.577597280434319 × 6371000     		do = 176.376278076011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02336860-2.02341653) × cos(0.95498637) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.57761988416523 × 6371000     		du = 176.383180397168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95501406)-sin(0.95498637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577597280434319-0.57761988416523)×R²
    abs(2.02341653-2.02336860)×2.26037309108973e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26037309108973e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26037309108973e-05×40589641000000     		ar = 31115.6754119386m²