Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107742 / 41634
↖ ↑ ↗
← N 54.721447°
E115.922241°		 ← 176.36 m → N 54.721447°
E115.924988°		 →
↑
176.35 m
↓
↑
176.35 m
↓
N 54.719862°
E115.922241°		 ← 176.37 m →
31 102 m²		 N 54.719862°
E115.924988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822010040283203 y=0.317646026611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822010040283203 × 217)
    floor (0.822010040283203 × 131072)
    floor (107742.5)     		tx = 107742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317646026611328 × 217)
    floor (0.317646026611328 × 131072)
    floor (41634.5)     		ty = 41634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107742 / 41634 ti = "17/107742/41634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107742/41634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107742 ÷ 217
    107742 ÷ 131072     		x = 0.822006225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41634 ÷ 217
    41634 ÷ 131072     		y = 0.317642211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822006225585938 × 2 - 1) × π
    0.644012451171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02322479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317642211914062 × 2 - 1) × π
    0.364715576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14578777471858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02322479} λ = 2.02322479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14578777471858))-π/2
    2×atan(3.14491786803309)-π/2
    2×1.26293288056793-π/2
    2.52586576113586-1.57079632675     		φ = 0.95506943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02322479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.922241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95506943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.721447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107742 KachelY 41634 2.02322479 0.95506943 115.922241 54.721447
    Oben rechts KachelX + 1 107743 KachelY 41634 2.02327272 0.95506943 115.924988 54.721447
    Unten links KachelX 107742 KachelY + 1 41635 2.02322479 0.95504175 115.922241 54.719862
    Unten rechts KachelX + 1 107743 KachelY + 1 41635 2.02327272 0.95504175 115.924988 54.719862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95506943-0.95504175) × R
    2.76799999999744e-05 × 6371000     		dl = 176.349279999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95506943-0.95504175) × R
    2.76799999999744e-05 × 6371000     		dr = 176.349279999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02322479-2.02327272) × cos(0.95506943) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.577552079807459 × 6371000     		do = 176.362475520836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02322479-2.02327272) × cos(0.95504175) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.577574676260544 × 6371000     		du = 176.36937561962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95506943)-sin(0.95504175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577552079807459-0.577574676260544)×R²
    abs(2.02327272-2.02322479)×2.25964530845557e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.25964530845557e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.25964530845557e-05×40589641000000     		ar = 31102.0039927014m²