Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107736 / 100248
↖ ↑ ↗
← S 68.552351°
E115.905761°		 ← 111.68 m → S 68.552351°
E115.908508°		 →
↑
111.68 m
↓
↑
111.68 m
↓
S 68.553355°
E115.905761°		 ← 111.67 m →
12 472 m²		 S 68.553355°
E115.908508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821964263916016 y=0.764835357666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821964263916016 × 217)
    floor (0.821964263916016 × 131072)
    floor (107736.5)     		tx = 107736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764835357666016 × 217)
    floor (0.764835357666016 × 131072)
    floor (100248.5)     		ty = 100248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107736 / 100248 ti = "17/107736/100248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107736/100248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107736 ÷ 217
    107736 ÷ 131072     		x = 0.82196044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100248 ÷ 217
    100248 ÷ 131072     		y = 0.76483154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82196044921875 × 2 - 1) × π
    0.6439208984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02293716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76483154296875 × 2 - 1) × π
    -0.5296630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66398565961139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02293716} λ = 2.02293716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66398565961139))-π/2
    2×atan(0.189382659068287)-π/2
    2×0.187166047706085-π/2
    0.374332095412171-1.57079632675     		φ = -1.19646423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02293716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.905761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19646423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.552351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107736 KachelY 100248 2.02293716 -1.19646423 115.905761 -68.552351
    Oben rechts KachelX + 1 107737 KachelY 100248 2.02298510 -1.19646423 115.908508 -68.552351
    Unten links KachelX 107736 KachelY + 1 100249 2.02293716 -1.19648176 115.905761 -68.553355
    Unten rechts KachelX + 1 107737 KachelY + 1 100249 2.02298510 -1.19648176 115.908508 -68.553355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19646423--1.19648176) × R
    1.75300000000433e-05 × 6371000     		dl = 111.683630000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19646423--1.19648176) × R
    1.75300000000433e-05 × 6371000     		dr = 111.683630000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02293716-2.02298510) × cos(-1.19646423) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365650958413094 × 6371000     		do = 111.679214554955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02293716-2.02298510) × cos(-1.19648176) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365634642273494 × 6371000     		du = 111.674231185944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19646423)-sin(-1.19648176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365650958413094-0.365634642273494)×R²
    abs(2.02298510-2.02293716)×1.63161395996259e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63161395996259e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63161395996259e-05×40589641000000     		ar = 12472.4617971188m²