Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107731 / 41747
↖ ↑ ↗
← N 54.541800°
E115.892029°		 ← 177.18 m → N 54.541800°
E115.894776°		 →
↑
177.18 m
↓
↑
177.18 m
↓
N 54.540207°
E115.892029°		 ← 177.19 m →
31 393 m²		 N 54.540207°
E115.894776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821926116943359 y=0.318508148193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821926116943359 × 217)
    floor (0.821926116943359 × 131072)
    floor (107731.5)     		tx = 107731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318508148193359 × 217)
    floor (0.318508148193359 × 131072)
    floor (41747.5)     		ty = 41747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107731 / 41747 ti = "17/107731/41747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107731/41747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107731 ÷ 217
    107731 ÷ 131072     		x = 0.821922302246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41747 ÷ 217
    41747 ÷ 131072     		y = 0.318504333496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821922302246094 × 2 - 1) × π
    0.643844604492188 × 3.1415926535     		Λ = 2.02269748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318504333496094 × 2 - 1) × π
    0.362991333007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.14037090506152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02269748} λ = 2.02269748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14037090506152))-π/2
    2×atan(3.12792831450123)-π/2
    2×1.26136515722334-π/2
    2.52273031444667-1.57079632675     		φ = 0.95193399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02269748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.892029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95193399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.541800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107731 KachelY 41747 2.02269748 0.95193399 115.892029 54.541800
    Oben rechts KachelX + 1 107732 KachelY 41747 2.02274542 0.95193399 115.894776 54.541800
    Unten links KachelX 107731 KachelY + 1 41748 2.02269748 0.95190618 115.892029 54.540207
    Unten rechts KachelX + 1 107732 KachelY + 1 41748 2.02274542 0.95190618 115.894776 54.540207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95193399-0.95190618) × R
    2.78099999999615e-05 × 6371000     		dl = 177.177509999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95193399-0.95190618) × R
    2.78099999999615e-05 × 6371000     		dr = 177.177509999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02269748-2.02274542) × cos(0.95193399) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.58010886515312 × 6371000     		do = 177.180179419836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02269748-2.02274542) × cos(0.95190618) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.580131517257049 × 6371000     		du = 177.187097955441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95193399)-sin(0.95190618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58010886515312-0.580131517257049)×R²
    abs(2.02274542-2.02269748)×2.2652103929488e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2652103929488e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2652103929488e-05×40589641000000     		ar = 31392.9559174729m²