Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107726 / 41682
↖ ↑ ↗
← N 54.645234°
E115.878296°		 ← 176.73 m → N 54.645234°
E115.881042°		 →
↑
176.73 m
↓
↑
176.73 m
↓
N 54.643645°
E115.878296°		 ← 176.74 m →
31 235 m²		 N 54.643645°
E115.881042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821887969970703 y=0.318012237548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821887969970703 × 217)
    floor (0.821887969970703 × 131072)
    floor (107726.5)     		tx = 107726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318012237548828 × 217)
    floor (0.318012237548828 × 131072)
    floor (41682.5)     		ty = 41682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107726 / 41682 ti = "17/107726/41682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107726/41682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107726 ÷ 217
    107726 ÷ 131072     		x = 0.821884155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41682 ÷ 217
    41682 ÷ 131072     		y = 0.318008422851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821884155273438 × 2 - 1) × π
    0.643768310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02245779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318008422851562 × 2 - 1) × π
    0.363983154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14348680353682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02245779} λ = 2.02245779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14348680353682))-π/2
    2×atan(3.13768982160206)-π/2
    2×1.26226779096325-π/2
    2.52453558192649-1.57079632675     		φ = 0.95373926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02245779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.878296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95373926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.645234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107726 KachelY 41682 2.02245779 0.95373926 115.878296 54.645234
    Oben rechts KachelX + 1 107727 KachelY 41682 2.02250573 0.95373926 115.881042 54.645234
    Unten links KachelX 107726 KachelY + 1 41683 2.02245779 0.95371152 115.878296 54.643645
    Unten rechts KachelX + 1 107727 KachelY + 1 41683 2.02250573 0.95371152 115.881042 54.643645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95373926-0.95371152) × R
    2.77399999999428e-05 × 6371000     		dl = 176.731539999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95373926-0.95371152) × R
    2.77399999999428e-05 × 6371000     		dr = 176.731539999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02245779-2.02250573) × cos(0.95373926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.578637457930604 × 6371000     		do = 176.730773780058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02245779-2.02250573) × cos(0.95371152) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.578660082032468 × 6371000     		du = 176.737683763111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95373926)-sin(0.95371152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578637457930604-0.578660082032468)×R²
    abs(2.02250573-2.02245779)×2.26241018638218e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26241018638218e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26241018638218e-05×40589641000000     		ar = 31234.5124233649m²