Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107725 / 41659
↖ ↑ ↗
← N 54.681771°
E115.875549°		 ← 176.54 m → N 54.681771°
E115.878296°		 →
↑
176.54 m
↓
↑
176.54 m
↓
N 54.680183°
E115.875549°		 ← 176.54 m →
31 166 m²		 N 54.680183°
E115.878296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821880340576172 y=0.317836761474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821880340576172 × 217)
    floor (0.821880340576172 × 131072)
    floor (107725.5)     		tx = 107725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317836761474609 × 217)
    floor (0.317836761474609 × 131072)
    floor (41659.5)     		ty = 41659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107725 / 41659 ti = "17/107725/41659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107725/41659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107725 ÷ 217
    107725 ÷ 131072     		x = 0.821876525878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41659 ÷ 217
    41659 ÷ 131072     		y = 0.317832946777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821876525878906 × 2 - 1) × π
    0.643753051757812 × 3.1415926535     		Λ = 2.02240986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317832946777344 × 2 - 1) × π
    0.364334106445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.14458935222808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02240986} λ = 2.02240986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14458935222808))-π/2
    2×atan(3.14115118521877)-π/2
    2×1.26258663555226-π/2
    2.52517327110453-1.57079632675     		φ = 0.95437694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02240986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.875549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95437694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.681771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107725 KachelY 41659 2.02240986 0.95437694 115.875549 54.681771
    Oben rechts KachelX + 1 107726 KachelY 41659 2.02245779 0.95437694 115.878296 54.681771
    Unten links KachelX 107725 KachelY + 1 41660 2.02240986 0.95434923 115.875549 54.680183
    Unten rechts KachelX + 1 107726 KachelY + 1 41660 2.02245779 0.95434923 115.878296 54.680183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95437694-0.95434923) × R
    2.77099999999031e-05 × 6371000     		dl = 176.540409999383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95437694-0.95434923) × R
    2.77099999999031e-05 × 6371000     		dr = 176.540409999383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02240986-2.02245779) × cos(0.95437694) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.578117258153873 × 6371000     		do = 176.535059528009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02240986-2.02245779) × cos(0.95434923) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.578139868008865 × 6371000     		du = 176.541963719227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95437694)-sin(0.95434923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578117258153873-0.578139868008865)×R²
    abs(2.02245779-2.02240986)×2.26098549919174e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26098549919174e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26098549919174e-05×40589641000000     		ar = 31166.1812246087m²