Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107723 / 41671
↖ ↑ ↗
← N 54.662712°
E115.870056°		 ← 176.65 m → N 54.662712°
E115.872803°		 →
↑
176.67 m
↓
↑
176.67 m
↓
N 54.661124°
E115.870056°		 ← 176.66 m →
31 210 m²		 N 54.661124°
E115.872803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821865081787109 y=0.317928314208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821865081787109 × 217)
    floor (0.821865081787109 × 131072)
    floor (107723.5)     		tx = 107723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317928314208984 × 217)
    floor (0.317928314208984 × 131072)
    floor (41671.5)     		ty = 41671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107723 / 41671 ti = "17/107723/41671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107723/41671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107723 ÷ 217
    107723 ÷ 131072     		x = 0.821861267089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41671 ÷ 217
    41671 ÷ 131072     		y = 0.317924499511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821861267089844 × 2 - 1) × π
    0.643722534179688 × 3.1415926535     		Λ = 2.02231398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317924499511719 × 2 - 1) × π
    0.364151000976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.14401410943264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02231398} λ = 2.02231398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14401410943264))-π/2
    2×atan(3.13934478024062)-π/2
    2×1.26242031763311-π/2
    2.52484063526623-1.57079632675     		φ = 0.95404431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02231398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.870056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95404431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.662712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107723 KachelY 41671 2.02231398 0.95404431 115.870056 54.662712
    Oben rechts KachelX + 1 107724 KachelY 41671 2.02236192 0.95404431 115.872803 54.662712
    Unten links KachelX 107723 KachelY + 1 41672 2.02231398 0.95401658 115.870056 54.661124
    Unten rechts KachelX + 1 107724 KachelY + 1 41672 2.02236192 0.95401658 115.872803 54.661124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95404431-0.95401658) × R
    2.77300000000036e-05 × 6371000     		dl = 176.667830000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95404431-0.95401658) × R
    2.77300000000036e-05 × 6371000     		dr = 176.667830000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02231398-2.02236192) × cos(0.95404431) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.578388636844905 × 6371000     		do = 176.654777415831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02231398-2.02236192) × cos(0.95401658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.578411257684839 × 6371000     		du = 176.661686402607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95404431)-sin(0.95401658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578388636844905-0.578411257684839)×R²
    abs(2.02236192-2.02231398)×2.26208399342065e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26208399342065e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26208399342065e-05×40589641000000     		ar = 31209.8264850836m²