Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107722 / 41670
↖ ↑ ↗
← N 54.664301°
E115.867310°		 ← 176.61 m → N 54.664301°
E115.870056°		 →
↑
176.60 m
↓
↑
176.60 m
↓
N 54.662712°
E115.867310°		 ← 176.62 m →
31 191 m²		 N 54.662712°
E115.870056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821857452392578 y=0.317920684814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821857452392578 × 217)
    floor (0.821857452392578 × 131072)
    floor (107722.5)     		tx = 107722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317920684814453 × 217)
    floor (0.317920684814453 × 131072)
    floor (41670.5)     		ty = 41670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107722 / 41670 ti = "17/107722/41670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107722/41670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107722 ÷ 217
    107722 ÷ 131072     		x = 0.821853637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41670 ÷ 217
    41670 ÷ 131072     		y = 0.317916870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821853637695312 × 2 - 1) × π
    0.643707275390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02226605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317916870117188 × 2 - 1) × π
    0.364166259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14406204633226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02226605} λ = 2.02226605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14406204633226))-π/2
    2×atan(3.13949527430331)-π/2
    2×1.2624341804411-π/2
    2.5248683608822-1.57079632675     		φ = 0.95407203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02226605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.867310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95407203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.664301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107722 KachelY 41670 2.02226605 0.95407203 115.867310 54.664301
    Oben rechts KachelX + 1 107723 KachelY 41670 2.02231398 0.95407203 115.870056 54.664301
    Unten links KachelX 107722 KachelY + 1 41671 2.02226605 0.95404431 115.867310 54.662712
    Unten rechts KachelX + 1 107723 KachelY + 1 41671 2.02231398 0.95404431 115.870056 54.662712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95407203-0.95404431) × R
    2.77199999999533e-05 × 6371000     		dl = 176.604119999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95407203-0.95404431) × R
    2.77199999999533e-05 × 6371000     		dr = 176.604119999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02226605-2.02231398) × cos(0.95407203) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.578366023717991 × 6371000     		do = 176.611023085662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02226605-2.02231398) × cos(0.95404431) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.578388636844905 × 6371000     		du = 176.617928276001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95407203)-sin(0.95404431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578366023717991-0.578388636844905)×R²
    abs(2.02231398-2.02226605)×2.2613126913984e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2613126913984e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2613126913984e-05×40589641000000     		ar = 31190.8440587649m²