Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107720 / 41673
↖ ↑ ↗
← N 54.659535°
E115.861816°		 ← 176.67 m → N 54.659535°
E115.864563°		 →
↑
176.60 m
↓
↑
176.60 m
↓
N 54.657947°
E115.861816°		 ← 176.68 m →
31 201 m²		 N 54.657947°
E115.864563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821842193603516 y=0.317943572998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821842193603516 × 217)
    floor (0.821842193603516 × 131072)
    floor (107720.5)     		tx = 107720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317943572998047 × 217)
    floor (0.317943572998047 × 131072)
    floor (41673.5)     		ty = 41673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107720 / 41673 ti = "17/107720/41673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107720/41673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107720 ÷ 217
    107720 ÷ 131072     		x = 0.82183837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41673 ÷ 217
    41673 ÷ 131072     		y = 0.317939758300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82183837890625 × 2 - 1) × π
    0.6436767578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02217017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317939758300781 × 2 - 1) × π
    0.364120483398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.1439182356334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02217017} λ = 2.02217017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1439182356334))-π/2
    2×atan(3.13904381375705)-π/2
    2×1.26239259039078-π/2
    2.52478518078156-1.57079632675     		φ = 0.95398885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02217017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.861816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95398885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.659535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107720 KachelY 41673 2.02217017 0.95398885 115.861816 54.659535
    Oben rechts KachelX + 1 107721 KachelY 41673 2.02221811 0.95398885 115.864563 54.659535
    Unten links KachelX 107720 KachelY + 1 41674 2.02217017 0.95396113 115.861816 54.657947
    Unten rechts KachelX + 1 107721 KachelY + 1 41674 2.02221811 0.95396113 115.864563 54.657947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95398885-0.95396113) × R
    2.77199999999533e-05 × 6371000     		dl = 176.604119999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95398885-0.95396113) × R
    2.77199999999533e-05 × 6371000     		dr = 176.604119999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02217017-2.02221811) × cos(0.95398885) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.578433878080003 × 6371000     		do = 176.668595253539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02217017-2.02221811) × cos(0.95396113) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.578456489873245 × 6371000     		du = 176.675501477223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95398885)-sin(0.95396113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578433878080003-0.578456489873245)×R²
    abs(2.02221811-2.02217017)×2.26117932423664e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26117932423664e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26117932423664e-05×40589641000000     		ar = 31201.0116320599m²