Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107708 / 42551
↖ ↑ ↗
← N 53.240564°
E115.828857°		 ← 182.78 m → N 53.240564°
E115.831604°		 →
↑
182.72 m
↓
↑
182.72 m
↓
N 53.238921°
E115.828857°		 ← 182.79 m →
33 399 m²		 N 53.238921°
E115.831604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821750640869141 y=0.324642181396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821750640869141 × 217)
    floor (0.821750640869141 × 131072)
    floor (107708.5)     		tx = 107708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324642181396484 × 217)
    floor (0.324642181396484 × 131072)
    floor (42551.5)     		ty = 42551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107708 / 42551 ti = "17/107708/42551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107708/42551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107708 ÷ 217
    107708 ÷ 131072     		x = 0.821746826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42551 ÷ 217
    42551 ÷ 131072     		y = 0.324638366699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821746826171875 × 2 - 1) × π
    0.64349365234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02159493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324638366699219 × 2 - 1) × π
    0.350723266601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.10182963776699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02159493} λ = 2.02159493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10182963776699))-π/2
    2×atan(3.00966759096481)-π/2
    2×1.25000973543519-π/2
    2.50001947087037-1.57079632675     		φ = 0.92922314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02159493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.828857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92922314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.240564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107708 KachelY 42551 2.02159493 0.92922314 115.828857 53.240564
    Oben rechts KachelX + 1 107709 KachelY 42551 2.02164287 0.92922314 115.831604 53.240564
    Unten links KachelX 107708 KachelY + 1 42552 2.02159493 0.92919446 115.828857 53.238921
    Unten rechts KachelX + 1 107709 KachelY + 1 42552 2.02164287 0.92919446 115.831604 53.238921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92922314-0.92919446) × R
    2.86799999998921e-05 × 6371000     		dl = 182.720279999313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92922314-0.92919446) × R
    2.86799999998921e-05 × 6371000     		dr = 182.720279999313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02159493-2.02164287) × cos(0.92922314) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598456548292114 × 6371000     		do = 182.784034119845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02159493-2.02164287) × cos(0.92919446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598479525179003 × 6371000     		du = 182.791051852526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92922314)-sin(0.92919446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598456548292114-0.598479525179003)×R²
    abs(2.02164287-2.02159493)×2.29768868899027e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29768868899027e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29768868899027e-05×40589641000000     		ar = 33398.9910370599m²