Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107705 / 100179
↖ ↑ ↗
← S 68.482948°
E115.820618°		 ← 112.02 m → S 68.482948°
E115.823364°		 →
↑
112.07 m
↓
↑
112.07 m
↓
S 68.483956°
E115.820618°		 ← 112.02 m →
12 554 m²		 S 68.483956°
E115.823364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821727752685547 y=0.764308929443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821727752685547 × 217)
    floor (0.821727752685547 × 131072)
    floor (107705.5)     		tx = 107705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764308929443359 × 217)
    floor (0.764308929443359 × 131072)
    floor (100179.5)     		ty = 100179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107705 / 100179 ti = "17/107705/100179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107705/100179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107705 ÷ 217
    107705 ÷ 131072     		x = 0.821723937988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100179 ÷ 217
    100179 ÷ 131072     		y = 0.764305114746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821723937988281 × 2 - 1) × π
    0.643447875976562 × 3.1415926535     		Λ = 2.02145112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764305114746094 × 2 - 1) × π
    -0.528610229492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.66067801353761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02145112} λ = 2.02145112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66067801353761))-π/2
    2×atan(0.190010106992778)-π/2
    2×0.187771701338461-π/2
    0.375543402676922-1.57079632675     		φ = -1.19525292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02145112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.820618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19525292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.482948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107705 KachelY 100179 2.02145112 -1.19525292 115.820618 -68.482948
    Oben rechts KachelX + 1 107706 KachelY 100179 2.02149906 -1.19525292 115.823364 -68.482948
    Unten links KachelX 107705 KachelY + 1 100180 2.02145112 -1.19527051 115.820618 -68.483956
    Unten rechts KachelX + 1 107706 KachelY + 1 100180 2.02149906 -1.19527051 115.823364 -68.483956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19525292--1.19527051) × R
    1.75900000001228e-05 × 6371000     		dl = 112.065890000782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19525292--1.19527051) × R
    1.75900000001228e-05 × 6371000     		dr = 112.065890000782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02145112-2.02149906) × cos(-1.19525292) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366778119147133 × 6371000     		do = 112.023478456248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02145112-2.02149906) × cos(-1.19527051) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366761754964764 × 6371000     		du = 112.018480413738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19525292)-sin(-1.19527051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366778119147133-0.366761754964764)×R²
    abs(2.02149906-2.02145112)×1.63641823689997e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63641823689997e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63641823689997e-05×40589641000000     		ar = 12553.7307594237m²