Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107696 / 41712
↖ ↑ ↗
← N 54.597528°
E115.795899°		 ← 176.90 m → N 54.597528°
E115.798645°		 →
↑
176.92 m
↓
↑
176.92 m
↓
N 54.595936°
E115.795899°		 ← 176.91 m →
31 298 m²		 N 54.595936°
E115.798645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821659088134766 y=0.318241119384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821659088134766 × 217)
    floor (0.821659088134766 × 131072)
    floor (107696.5)     		tx = 107696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318241119384766 × 217)
    floor (0.318241119384766 × 131072)
    floor (41712.5)     		ty = 41712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107696 / 41712 ti = "17/107696/41712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107696/41712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107696 ÷ 217
    107696 ÷ 131072     		x = 0.8216552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41712 ÷ 217
    41712 ÷ 131072     		y = 0.3182373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8216552734375 × 2 - 1) × π
    0.643310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02101969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3182373046875 × 2 - 1) × π
    0.363525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14204869654822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02101969} λ = 2.02101969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14204869654822))-π/2
    2×atan(3.13318073099603)-π/2
    2×1.26185147562234-π/2
    2.52370295124468-1.57079632675     		φ = 0.95290662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02101969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.795899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95290662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.597528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107696 KachelY 41712 2.02101969 0.95290662 115.795899 54.597528
    Oben rechts KachelX + 1 107697 KachelY 41712 2.02106762 0.95290662 115.798645 54.597528
    Unten links KachelX 107696 KachelY + 1 41713 2.02101969 0.95287885 115.795899 54.595936
    Unten rechts KachelX + 1 107697 KachelY + 1 41713 2.02106762 0.95287885 115.798645 54.595936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95290662-0.95287885) × R
    2.77699999999825e-05 × 6371000     		dl = 176.922669999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95290662-0.95287885) × R
    2.77699999999825e-05 × 6371000     		dr = 176.922669999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02101969-2.02106762) × cos(0.95290662) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.579316345862885 × 6371000     		do = 176.901215384981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02101969-2.02106762) × cos(0.95287885) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.579338981044208 × 6371000     		du = 176.908127309899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95290662)-sin(0.95287885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579316345862885-0.579338981044208)×R²
    abs(2.02106762-2.02101969)×2.26351813228387e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26351813228387e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26351813228387e-05×40589641000000     		ar = 31298.4467922892m²