Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 107696 / 41680
↖ ↑ ↗
← N 54.648413°
E115.795899°		 ← 176.68 m → N 54.648413°
E115.798645°		 →
↑
176.73 m
↓
↑
176.73 m
↓
N 54.646823°
E115.795899°		 ← 176.69 m →
31 226 m²		 N 54.646823°
E115.798645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821659088134766 y=0.317996978759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821659088134766 × 217)
    floor (0.821659088134766 × 131072)
    floor (107696.5)     		tx = 107696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317996978759766 × 217)
    floor (0.317996978759766 × 131072)
    floor (41680.5)     		ty = 41680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107696 / 41680 ti = "17/107696/41680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107696/41680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107696 ÷ 217
    107696 ÷ 131072     		x = 0.8216552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41680 ÷ 217
    41680 ÷ 131072     		y = 0.3179931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8216552734375 × 2 - 1) × π
    0.643310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02101969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3179931640625 × 2 - 1) × π
    0.364013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14358267733606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02101969} λ = 2.02101969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14358267733606))-π/2
    2×atan(3.13799065826704)-π/2
    2×1.26229552796472-π/2
    2.52459105592944-1.57079632675     		φ = 0.95379473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02101969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.795899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95379473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.648413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107696 KachelY 41680 2.02101969 0.95379473 115.795899 54.648413
    Oben rechts KachelX + 1 107697 KachelY 41680 2.02106762 0.95379473 115.798645 54.648413
    Unten links KachelX 107696 KachelY + 1 41681 2.02101969 0.95376699 115.795899 54.646823
    Unten rechts KachelX + 1 107697 KachelY + 1 41681 2.02106762 0.95376699 115.798645 54.646823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95379473-0.95376699) × R
    2.77400000000538e-05 × 6371000     		dl = 176.731540000343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95379473-0.95376699) × R
    2.77400000000538e-05 × 6371000     		dr = 176.731540000343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02101969-2.02106762) × cos(0.95379473) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.578592216547265 × 6371000     		do = 176.680093787181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02101969-2.02106762) × cos(0.95376699) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.578614841539483 × 6371000     		du = 176.687002600733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95379473)-sin(0.95376699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578592216547265-0.578614841539483)×R²
    abs(2.02106762-2.02101969)×2.26249922178345e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26249922178345e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26249922178345e-05×40589641000000     		ar = 31225.555567171m²