Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107696 / 100262
↖ ↑ ↗
← S 68.566407°
E115.795899°		 ← 111.59 m → S 68.566407°
E115.798645°		 →
↑
111.62 m
↓
↑
111.62 m
↓
S 68.567410°
E115.795899°		 ← 111.58 m →
12 455 m²		 S 68.567410°
E115.798645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821659088134766 y=0.764942169189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821659088134766 × 217)
    floor (0.821659088134766 × 131072)
    floor (107696.5)     		tx = 107696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764942169189453 × 217)
    floor (0.764942169189453 × 131072)
    floor (100262.5)     		ty = 100262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107696 / 100262 ti = "17/107696/100262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107696/100262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107696 ÷ 217
    107696 ÷ 131072     		x = 0.8216552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100262 ÷ 217
    100262 ÷ 131072     		y = 0.764938354492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8216552734375 × 2 - 1) × π
    0.643310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02101969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764938354492188 × 2 - 1) × π
    -0.529876708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66465677620607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02101969} λ = 2.02101969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66465677620607))-π/2
    2×atan(0.189255603862239)-π/2
    2×0.18704338880773-π/2
    0.374086777615461-1.57079632675     		φ = -1.19670955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02101969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.795899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19670955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.566407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107696 KachelY 100262 2.02101969 -1.19670955 115.795899 -68.566407
    Oben rechts KachelX + 1 107697 KachelY 100262 2.02106762 -1.19670955 115.798645 -68.566407
    Unten links KachelX 107696 KachelY + 1 100263 2.02101969 -1.19672707 115.795899 -68.567410
    Unten rechts KachelX + 1 107697 KachelY + 1 100263 2.02106762 -1.19672707 115.798645 -68.567410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19670955--1.19672707) × R
    1.75199999998821e-05 × 6371000     		dl = 111.619919999249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19670955--1.19672707) × R
    1.75199999998821e-05 × 6371000     		dr = 111.619919999249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02101969-2.02106762) × cos(-1.19670955) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.365422615319952 × 6371000     		do = 111.586191622078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02101969-2.02106762) × cos(-1.19672707) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.365406306916893 × 6371000     		du = 111.581211655014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19670955)-sin(-1.19672707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365422615319952-0.365406306916893)×R²
    abs(2.02106762-2.02101969)×1.63084030592731e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63084030592731e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63084030592731e-05×40589641000000     		ar = 12454.96385047m²