Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107692 / 100193
↖ ↑ ↗
← S 68.497047°
E115.784912°		 ← 111.95 m → S 68.497047°
E115.787659°		 →
↑
111.94 m
↓
↑
111.94 m
↓
S 68.498054°
E115.784912°		 ← 111.95 m →
12 532 m²		 S 68.498054°
E115.787659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821628570556641 y=0.764415740966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821628570556641 × 217)
    floor (0.821628570556641 × 131072)
    floor (107692.5)     		tx = 107692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764415740966797 × 217)
    floor (0.764415740966797 × 131072)
    floor (100193.5)     		ty = 100193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107692 / 100193 ti = "17/107692/100193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107692/100193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107692 ÷ 217
    107692 ÷ 131072     		x = 0.821624755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100193 ÷ 217
    100193 ÷ 131072     		y = 0.764411926269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821624755859375 × 2 - 1) × π
    0.64324951171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02082794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764411926269531 × 2 - 1) × π
    -0.528823852539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.66134913013229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02082794} λ = 2.02082794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66134913013229))-π/2
    2×atan(0.189882630837285)-π/2
    2×0.187648664312626-π/2
    0.375297328625252-1.57079632675     		φ = -1.19549900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02082794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.784912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19549900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.497047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107692 KachelY 100193 2.02082794 -1.19549900 115.784912 -68.497047
    Oben rechts KachelX + 1 107693 KachelY 100193 2.02087588 -1.19549900 115.787659 -68.497047
    Unten links KachelX 107692 KachelY + 1 100194 2.02082794 -1.19551657 115.784912 -68.498054
    Unten rechts KachelX + 1 107693 KachelY + 1 100194 2.02087588 -1.19551657 115.787659 -68.498054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19549900--1.19551657) × R
    1.75699999998002e-05 × 6371000     		dl = 111.938469998727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19549900--1.19551657) × R
    1.75699999998002e-05 × 6371000     		dr = 111.938469998727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02082794-2.02087588) × cos(-1.19549900) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366549177740985 × 6371000     		do = 111.953553857859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02082794-2.02087588) × cos(-1.19551657) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366532830579634 × 6371000     		du = 111.948561014006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19549900)-sin(-1.19551657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366549177740985-0.366532830579634)×R²
    abs(2.02087588-2.02082794)×1.63471613517374e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63471613517374e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63471613517374e-05×40589641000000     		ar = 12531.6300843687m²