Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107685 / 42588
↖ ↑ ↗
← N 53.179704°
E115.765686°		 ← 183.04 m → N 53.179704°
E115.768433°		 →
↑
183.04 m
↓
↑
183.04 m
↓
N 53.178058°
E115.765686°		 ← 183.05 m →
33 505 m²		 N 53.178058°
E115.768433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821575164794922 y=0.324924468994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821575164794922 × 217)
    floor (0.821575164794922 × 131072)
    floor (107685.5)     		tx = 107685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324924468994141 × 217)
    floor (0.324924468994141 × 131072)
    floor (42588.5)     		ty = 42588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107685 / 42588 ti = "17/107685/42588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107685/42588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107685 ÷ 217
    107685 ÷ 131072     		x = 0.821571350097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42588 ÷ 217
    42588 ÷ 131072     		y = 0.324920654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821571350097656 × 2 - 1) × π
    0.643142700195312 × 3.1415926535     		Λ = 2.02049238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324920654296875 × 2 - 1) × π
    0.35015869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10005597248105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02049238} λ = 2.02049238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10005597248105))-π/2
    2×atan(3.00433417927827)-π/2
    2×1.24947862747756-π/2
    2.49895725495512-1.57079632675     		φ = 0.92816093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02049238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.765686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92816093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.179704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107685 KachelY 42588 2.02049238 0.92816093 115.765686 53.179704
    Oben rechts KachelX + 1 107686 KachelY 42588 2.02054032 0.92816093 115.768433 53.179704
    Unten links KachelX 107685 KachelY + 1 42589 2.02049238 0.92813220 115.765686 53.178058
    Unten rechts KachelX + 1 107686 KachelY + 1 42589 2.02054032 0.92813220 115.768433 53.178058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92816093-0.92813220) × R
    2.87300000000323e-05 × 6371000     		dl = 183.038830000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92816093-0.92813220) × R
    2.87300000000323e-05 × 6371000     		dr = 183.038830000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02049238-2.02054032) × cos(0.92816093) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599307205650633 × 6371000     		do = 183.043846773057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02049238-2.02054032) × cos(0.92813220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599330204317821 × 6371000     		du = 183.050871158002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92816093)-sin(0.92813220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599307205650633-0.599330204317821)×R²
    abs(2.02054032-2.02049238)×2.29986671876903e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29986671876903e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29986671876903e-05×40589641000000     		ar = 33504.7744218824m²