Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 107684 / 42616
↖ ↑ ↗
← N 53.133590°
E115.762940°		 ← 183.20 m → N 53.133590°
E115.765686°		 →
↑
183.23 m
↓
↑
183.23 m
↓
N 53.131942°
E115.762940°		 ← 183.21 m →
33 569 m²		 N 53.131942°
E115.765686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 107684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821567535400391 y=0.325138092041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821567535400391 × 217)
    floor (0.821567535400391 × 131072)
    floor (107684.5)     		tx = 107684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325138092041016 × 217)
    floor (0.325138092041016 × 131072)
    floor (42616.5)     		ty = 42616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 107684 / 42616 ti = "17/107684/42616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/107684/42616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 107684 ÷ 217
    107684 ÷ 131072     		x = 0.821563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42616 ÷ 217
    42616 ÷ 131072     		y = 0.32513427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.821563720703125 × 2 - 1) × π
    0.64312744140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02044445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32513427734375 × 2 - 1) × π
    0.3497314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09871373929169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02044445} λ = 2.02044445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09871373929169))-π/2
    2×atan(3.0003043673096)-π/2
    2×1.24907620635027-π/2
    2.49815241270055-1.57079632675     		φ = 0.92735609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02044445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.762940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92735609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.133590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 107684 KachelY 42616 2.02044445 0.92735609 115.762940 53.133590
    Oben rechts KachelX + 1 107685 KachelY 42616 2.02049238 0.92735609 115.765686 53.133590
    Unten links KachelX 107684 KachelY + 1 42617 2.02044445 0.92732733 115.762940 53.131942
    Unten rechts KachelX + 1 107685 KachelY + 1 42617 2.02049238 0.92732733 115.765686 53.131942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92735609-0.92732733) × R
    2.8759999999961e-05 × 6371000     		dl = 183.229959999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92735609-0.92732733) × R
    2.8759999999961e-05 × 6371000     		dr = 183.229959999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02044445-2.02049238) × cos(0.92735609) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.5999513012897 × 6371000     		do = 183.202347263077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02044445-2.02049238) × cos(0.92732733) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.59997431009194 × 6371000     		du = 183.209373277636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92735609)-sin(0.92732733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5999513012897-0.59997431009194)×R²
    abs(2.02049238-2.02044445)×2.30088022401542e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30088022401542e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30088022401542e-05×40589641000000     		ar = 33568.8024513235m²